增广矩阵的初等行变换包括三种操作：交换两行、第 $i$ 行乘以一个非零常数、第 $i$ 行加上第 $j$ 行的若干倍。以下是具体的步骤：
1. 交换两行：将第 $i$ 行和第 $j$ 行交换，则增广矩阵的第 $i$ 行变为原来的第 $j$ 行，第 $j$ 行变为原来的第 $i$ 行。
2. 第 $i$ 行乘以一个非零常数：将第 $i$ 行的所有元素都乘以一个非零常数 $k$，则增广矩阵的第 $i$ 行变为原来的第 $i$ 行乘以 $k$。
3. 第 $i$ 行加上第 $j$ 行的若干倍：将第 $i$ 行的每个元素都加上第 $j$ 行对应元素的若干倍，则增广矩阵的第 $i$ 行变为原来的第 $i$ 行加上第 $j$ 行的若干倍。
注意：进行初等行变换时，必须保持增广矩阵的第一列元素不变，因为第一列是方程组的系数列。
以下是一个例子，演示如何进行初等行变换：
$$
egin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
2 & 3 & 4 & 5 \
3 & 4 & 5 & 6
end{bmatrix}
$$
1. 交换第一行和第三行：
$$
egin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & 6 \
2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 2 & 3 & 4
end{bmatrix}
$$
2. 将第二行乘以 $2$：
$$
egin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
4 & 6 & 8 & 10 \
3 & 4 & 5 & 6
end{bmatrix}
$$
3. 将第三行加上第一行的两倍：
$$
egin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
4 & 6 & 8 & 10 \
5 & 8 & 11 & 14
end{bmatrix}
$$
完成初等行变换后，可以通过高斯消元法或其他方法求解线性方程组。
