我们平时在休闲的时候可能会丢骰（tou2）子玩（严禁赌博！），常见的游戏方法有“猜奇偶”“比大小”等等。最近，遇到一个用骰子过关的游戏，出自2004年全国高中数学联合竞赛（第1试），非常有趣，分享给大家。
一项“过关游戏”规则规定：在第N关要抛掷一颗骰子N次，如果这N次抛掷所出现的点数之和大于2^N（2的N次方），则算过关。问：
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？
（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
分析：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的，出现每种点数的概率均为1/6.
（Ⅰ）根据游戏规则，若想过关，需使得投出的点数最大。因骰子出现的点数最大为6，假设每次都投出6点，则第N关投掷出的点数之和最大为6N，因为6N>2^N则过关，尝试N=4，6×4=24>2^4=16，而N=5时，6×5 30<2^5=32，由于指数爆炸的特性，指数函数的增长速率远远大于线性函数，因此当N≥5之后，N次出现的点数之和大于2^N已不可能，即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。
（Ⅱ）设事件An为“第N关过关失败”，则对立事件~An为“第N关过关成功”。
第N关游戏中，基本事件总数为6^N个。
第1关：过关成功条件为投1次点数大于2，基本事件总数6个。假设投掷出x点，事件A1成立的条件为x≤2，x取1和2，共2个基本事件。因此P(A1)=2/6,P(~A1)=1-P(A1)=4/6=2/3。
第2关：过关成功条件为投2次点数之和大于4（2^2），基本事件总数36（6^2）个。假设第1次投出x点，第2次投出y点，事件A2成立的条件为x y≤4，其中x和y只能取{1,2,3……，6}这6个值，穷举可知，当x=1，y=1,2,3，当x=2，y=1,2，当x=3，y=1，共6个基本事件。因此P(A2)=6/36,P(~A2)=1-P(A2)=30/36=5/6。
第3关：过关成功条件为投3次点数之和大于8（2^3），基本事件总数216（6^3）个。假设第1次投出x点，第2次投出y点，第3次投出z点，事件A3成立的条件为x y z≤8，其中x，y，z只能取{1,2,3……，6}这6个值。当x=6，y z≤2，有1（C2,2）种可能，当x=5，y z≤3，有2（C2,3）种可能，当x=4，y z≤4，有6（C2,4）种可能，……依此类推，当x=1，y z≤7，有21（C2,7）种可能，共C2,2 C2,3 C2,4 C2,5 C2,6 C2,7=1 3 6 10 15 21=56个基本事件。因此P(A3)=56/216,P(~A3)=1-P(A3)=160/216=20/27。
综上，连过三关的概率为P(~A1)×P(~A2)×P(~A3)=(2/3)×(5/6)×(20/27)=100/243.
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