女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
七种饰带图案是众所周知的，但如果想在一条材料中展示多种对称性，它们之间的过渡是必要的，以便展示所有可用的对称性，而不会突然改变设计。这项工作探索了七种传统饰带图案之间的可行转换，初步考虑将这一结果扩展到十七种利用颜色反转对称性的饰带图案。
众所周知，对于出现在饰带中的周期性图案(通常称为“饰带图案”)，可能有七种不同的对称群。许多论文讨论了饰带图案，特别是考虑到它们在非代表性艺术中的文化流行[1，4，5，6]，它们非常适合装饰性的边界或窄带材料，如皮带。然而，为了在一件作品中展示多种图案，使用允许一种图案自然流入另一种图案的过渡状态提供了一种在一件作品中使用各种不同对称组的不引人注目的方法。不同镶嵌或镶嵌之间的过渡已被广泛用于以镶嵌为导向的工作，特别是在M·C·埃舍尔的变形系列版画和威廉赫夫的拼花变形，这也是以前的bridge论文[2，3]的主题。然而，大多数涉及图案过渡的工作都是在保持单一基本对称性的同时对图案进行变形，而不是展示各种对称性；一个显著的例外是Karl Schaffer对舞蹈中对称性的探索，随着时间的推移，舞蹈家群体中对称性的变化是一种广泛使用的舞蹈技巧[7]。本文旨在阐明如何在一件作品中通过适当的过渡来表达多种不同的对称：例如，虽然饰带群可以用七条单独的腰带来展示，每条腰带都有不同的图案，但展示对称的优雅方式将允许用一条腰带展示所有对称。
因为这个项目的目的是作为对上面讨论的颜色反转对称的最终探索的序言，我们可以在一开始就确定，图案具有等量的正(黑色)和负(白色)空间是可取的；这是任何颜色反转对称的必要属性，但我们将要求它，即使这项工作涉及的图案，它不是由底层对称性强制要求的。同样考虑到以后引入这类更大的对称，为了恰当地考虑七个标准饰带对称群作为构成颜色反转群的子群，我们将只展示那些根本不具有任何颜色反转对称性的横纹作为这七个横纹的代表。
受这些限制，图1中显示了七个横纹组的代表性颜色平衡图案，并通过其标准晶体学名称进行识别。如果一个对称的保模变换群是高阶对称的子群，那么它就可以说是低阶对称。保持对称变换偏序集的Hasse图如图2所示。
图1：显示可能的饰带对称的七种图案
图2：七种饰带对称的Hasse图
通过从低阶对称到高阶对称的转变，我们的意思是在单个周期内出现的图案的连续变形，使得图案在转换过程中所有点都表现出低阶对称，仅在变形结束时表现出高阶对称，并且在变形过程中任何点都没有其他对称。在图2中有12对可比较的对称，特别注意到pmm2和p111之间以及pmg2和p111之间的可比性在Hasse图中被省略了，因为它们是由顺序的传递性暗示的。从展示所有这些可比性的角度来看，如果有可能为每一对可比性对称产生跃迁，那将是理想的。
饰带对称之间的过渡
图1中显示的特定模式是这样的，一些转换是对众所周知的几何变换的直接调用，为了简单起见，我们将描述为应用于黑色区域。具体而言，通过将平行四边形剪切成矩形，p111展示的图案可以转换成pm11展示的图案，并且类似的过程将p112图案转换成pmm2。此外，p111可以通过垂直于中心线平移平行四边形来转换成p112，并且对矩形执行的类似过程将pm11转换成pmm2。最后，通过同时进行这两种转化，p111可以直接转化为pmm2。给出的例子中类似的直接转换是将p1g1的梯形剪切成pmg2的等腰梯形的结果。为了简洁起见，这些简单的转换没有一个完整地展示出来。
因为p111是一个非常容易变换的对称，p111图案自由变形为三个图案(p1m1、p1g1和pmg2)也是非常简单的，尽管以面积保持的方式变形为p1m1在算术上有些混乱。特别地，p111到pmg2的转换可以通过将每个平行四边形一分为二成两个梯形，并将其中一个向上和向右平移来容易地获得。这种转换在图3a中线性显示。到p1g1的转换非常相似，包含一个剪切元素，如图3b所示。为了变换到p1m1，平行四边形的两个最右边的顶点可以自由地向三角形的右顶点移动，而左上顶点进一步向上和向左移动；虽然这些运动中有两个是线性的，但是为了保持面积，右下角的点实际上会描绘出一条抛物线路径。这种转换可以在图3c中看到。
图3：从p111对称到(a) pmg2对称，(b) p1g1对称和(c) p1m1对称的图案转换
图4：图案从(a) pm11到pmg2对称，(b) p1m1到pmm2对称，以及(c) p112到pmg2对称的变换
图中每个对称用一个顶点表示，有效的过渡用邻接表示，这在视觉上与图中的Hasse图非常相似；唯一的区别是pmm2和pmg2与p111的相似性，这在Hasse图中是隐含的，在转变图中是一条边。这张图上的欧拉或哈密尔顿遍历将分别代表每一个跃迁和每一个对称的展示。
虽然欧拉回路在跃迁图上是不可能的，因为pm11和p112都参与了三个跃迁，但在跃迁图上，从pm11到p112的欧拉轨迹是可能的，这意味着有可能做出一条饰带，显示状态之间所有可能的跃迁。图5展示了这样一个饰带，每个过渡由五个重复组成。这个特殊的饰带对应于欧拉轨迹，它依次访问顶点pm11, pmm2, p1m1, p111, pmm2, p112, pmg2, p1g1, p111, pmg2, pm11, p111和p112。
图5：61个重复的饰带，经历所有12个过渡；过渡端点显示为红色。
周期修改
值得注意的是，任何具有水平反射轴的对称都有滑移反射，但是滑移反射的相关平移距离是一个完整的周期，而不是一个周期的一半。因此，感觉上图2中的Hasse图并不完全准确:p1m1和p2mm具有滑移反射对称性，因此它们的对称群是p1g1和pmg2的对称群的超集，尽管周期是两倍大。因此，对对称性转变的更全面的探索不仅要考虑单个周期的对称群之间的关系，还要考虑它们与长度减半或加倍的周期上的对称群之间的关系。
如果我们用下标2表示半周期上的对称群，那么我们可以考虑14个全宽和半宽对称的扩展偏序集，其中除了全宽子集和半宽子集内已建立的排序，以及每个全宽对称与其半宽变体之间的可比性，我们还将具有p1g1 < p1m12和pmg2 < pmm22的可比性。这种结构可以无限地向上或向下扩展，子集不仅可以是半周期的，也可以是四分之一或更小周期的，在相反的方向上可以是两倍、四倍等等。
未来的工作
还有许多其他对称族，在这些对称族上，设计对称之间的过渡的问题可能对于构建展示多重对称的展示作品是有意义的。这个项目最初是出于建立一个展示所有17种饰带反对称的编织带的设计的愿望，这些反对称是由Weber [8]系统化的，它依赖于一个通过饰带反对称转换图上的哈密尔顿导线展示所有对称的计划，或者更雄心勃勃地通过欧拉导线展示所有反对称转换。识别过渡的相同过程也可能与十七个平面对称相关，也称为“墙纸图案”，或H.J. Woods的四十六种“变换”平面对称[9]。然而，平面对称中的过渡呈现出独特的挑战和机遇：不仅图案，而且基本域也必须作为过渡的一部分改变形状，并且沿着两个不同的轴在两个不同的方向上过渡图案的能力意味着正在经历过渡的作品的底层结构可能比简单地在图形中穿行更丰富。
参考文献
[1] B. L. Bodner. “Frieze Patterns of the Alhambra.” Bridges Conference Proceedings. San Sebastian, Spain, July 24–27 2007. pp. 203–208. http://archive.bridgesmathart.org/2007/bridges2007-203.html.
[2] C. S. Kaplan. “Metamorphosis in Escher’s Art.” Bridges Conference Proceedings. Leeuwarden, the Netherlands, July 24–28 2008. pp. 39–46. http://archive.bridgesmathart.org/2008/bridges2008-39.html.
[3] C. S. Kaplan. “Curve Evolution Schemes for Parquet Deformations.” Bridges Conference Proceedings. Pécs, Hungary, July 24–28 2010. pp. 95–102.
http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-95.html.
[4] L. Koss. “One-color Frieze Patterns in Friendship Bracelets: A Cross-Cultural Comparison.” Bridges Conference Proceedings. 2021. pp. 253–256.
http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-253.html.
[5] G. R. Laigo, H. M. GebreYohannes, and F. M. H. Al Khamisi. “Symmetry Groups of Islamic Patterns at the Sultan Qaboos Grand Mosque.” Bridges Conference Proceedings. 2014. pp. 183–190.
http://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.html.
[6] L. Radovic and S. Jablan. “Antisymmetry and Modularity in Ornamental Art.” Bridges Conference Proceedings. 2001. pp. 55–66. http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-55.html.
[7] K. Schaffer. “Dichromatic Dances.” Bridges Conference Proceedings. Waterloo, Canada, July 27–31 2017. pp. 291–298. http://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-291.pdf.
[8] L. Weber. “XII. Die Symmetrie homogener ebener Punktsysteme.” Zeitschrift für Kristallographie, vol. 70, 1929, pp. 309–327. https://doi.org/10.1524/zkri.1929.70.1.309.
[9] H. J. Woods. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part IV: Counterchange Symmetry in Plane Patterns.” Journal of the Textile Institute Transactions, vol. 27, no. 12, 1936, pp. T305–T320.
https://doi.org/10.1080/19447023608661695.
[10] D. Jacob Wildstrom, Transition Processes for Frieze Patterns
青山不改，绿水长流，在下告退。
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