高中数学学习(4)——高次不等式解法

高中数学学习(4)——高次不等式解法

首页休闲益智抱大根的女高中生更新时间:2024-07-11

今天我们讲的是高中唯一的计算类型知识点与考点,虽然不会单独考计算题,但是会与其他考题综合起来考察,属于基础能力。

1,何为高次不等式?

高次不等式就是最高次数≥2的不等式,包括二次不等式及更高次的不等式。

2,如何解二次不等式?

解二次不等式有个心法口诀——大于取两边,小于取中间

谁的中间?谁的两边?

是指把二次不等式当做一元二次方程解得的两个解的两边和中间。

也就是说,如果二次不等式是>号的话,解集就是>它所对应的一元二次方程的大根,<它所对应的一元二次方程的小根;如果二次不等式是<号的话,解集就是>它所对应的一元二次方程的小根,<它所对应的一元二次方程的大根

特别注意,这个心法口诀的对应前提是二次项系数为正数之时,如果二次项系数为负数,则先不等号两边同乘-1调节成正再求解集。

3,解集的表示

在高中,我们称取值范围为解集,它的表示比初中更简洁。

比如3<x<5,用解集的方式表示为(3,5);3≤x≤5,用解集的方式表示为[3,5];3<x≤5,用解集的方式表示为(3,5]。

也就是说,把取值范围由小到大写在括号里,如果包含端点,则使用中括号,如果不包含端点,则使用小括号。

那么,单边的如何表示呢?

比如x>6,用解集的方式表示为(6, ∞);x≤6,用解集的方式表示为(-∞,6]。

也就是说,还是按照由小到大的顺序写在括号里,无限延伸的一端用无穷符号“∞”表示,∞端一定是小括号。

那么,只取一个数字如何表示呢?

比如,x=6,用解集的方式表示为{6}。

4,如何解高次不等式?

高次不等式的解法有一个很好听的名字,叫穿针引线法,又被学生们戏称为东方不败法。

举例讲解:解不等式

例1

具体步骤如下:

(1)先将最高次项系数化为正数

(2)对高次不等式进行因式分解,转化为()*()>0或<0的形式

上式可因式分解为(x-4)(x 1)(x-1)≤0

(3)画一条数轴,将所有使解析式=0成立的解标记在数轴上

(4)从最右上角引一条曲线,每经过一个标记点就穿过一次,直到完全覆盖(-∞, ∞)的范围

特别注意,根制点能否取到,能取到用实心点,取不到用空心点。

(5)最后的解集。如果不等式是>号,则数轴上方的范围就是最后解集;如果不等式是<号,则数轴下方的范围就是最后解集

因此例题的解集为(-∞,-1]∪[1,4]。

上面一道例题是高次不等式的最基础形式,它还有几种变形形式:

比如:除法形式

例2

高次不等式对于乘法和除法的解法是一致的,区别只在于除法的分母要受分母不能为0的限制,因此除法也当做乘法来解,区别只在于最后写解集时。

例2的前期步骤与例1完全一致,区别从第(4)步开始。因为1这个根是从分母上产生的,所以1取不到,为空心点。

所以最后的解集为(-∞,-1]∪(1,4]。

再一种形式如下面这个例题:

例3

这个不等式因式分解后形式为

把除法当做乘法运算,结果又转化为

也就是说,因式分解后出现了一个根出现两次或两次以上的形式。

这种高次不等式与刚才例1的区别在穿针引线步骤,它的心法口诀叫——奇过偶不过

也就是说,产生这个根的小括号外是奇数时,穿线要穿过去;产生这个根的小括号外是偶数时,穿线不穿过去。

所以,例3的穿线为

最后的解集为(1,4]。

高次不等式的主要变形就是这两种形式,在解高次不等式时,特别注意穿线方式、值点到底取得到取不到、最后解集的书写。

为了不漏解,最好从小到大一个阶段一个阶段的写解集,特别注意根值两端都取不到但是根值能取到的情况。

高次不等式的解法我们就讲解到这里了,明天讲解绝对值不等式的解法。

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