“完美立方体”存在吗？（不可能的立方体）

世界上有“完美立方体”吗？这里的完美立方体不是正方体，而是有很多整数的长方体，它与“勾股定理”非常相关。学过“勾股定理”的你应该对这一组数字不陌生：5，12，13，你马上能反应出它们的关系：

我们把符合以上勾股定理（又名“毕达哥拉斯定理”）的条件的三个自然数，称为“毕达哥拉斯三元组”，而把三个数互素的那些，称为“本原毕达哥拉斯三元组”，意思是它们是最基本的。你知道如何找出所有“本原毕达哥拉斯三元组”吗？古希腊人就发现了如下公式：

设m>n，m和n均是正整数，取：

把所有可能的m、n组合带入上式，就能得到全部“本原毕达哥拉斯三元组”。有意思的是，有些自然数会重复出现在不同的三元组中，比如（20, 21, 29) 与 (20, 99, 101)，由此才有了如下的发现:

话说在1719年，一个叫Paul Halcke的会计（他同时也协助天文学家进行数值计算）发现了三个数字：44，117，240。如果你把这三个数任取两个，求平方和，结果仍旧是一个完全平方数：

因此这三个数中的任何两个都可以作为整数直角三角形的直角边。如果你把这三个数作为一个长方体的三条边长，你会发现这个长方体不但所有边是整数，所有面对角线也是整数。

欧拉后来专门研究了一下，怎样的三个数才能形成这种关系性质。他还找到了至少2组“参数化公式”，其中一组如下：

比如，将m=2和n=1代入以上公式，即可得出(44, 240, 117)这组数。因为欧拉的研究，后来人们把这种数组称为“欧拉砖数”。与欧拉差不多同时代的桑德森（Saunderson）发现一组形式更简单的，基于毕达哥拉斯三元组的参数化推导公式：

假设(u, v, w)是一组毕达哥拉斯三元组，则：

, ,

必为欧拉砖数。

但有意思也十分意外的是，无论是欧拉还是桑德森的公式，都无法包含所有“欧拉砖数”，总是有些“欧拉砖数”是漏网之鱼。更何况“本原欧拉砖数”（三个数互素）并不多，边长1000以内的只有5组，10000以内也仅有19组，这提示我们“欧拉砖数”不简单！

以下是已知的“本原欧拉砖数”的性质：

欧拉砖数已经够难找了，完美立方体在此基础上更进一步：有没有哪块欧拉砖的体对角线也是整数？即能否找到某组欧拉砖数，使得仍是完全平方数？虽然看上去只是多了一个条件，但我们至今没有找到完美立方体！虽然没有找到完美立方体，但我们知道如果它存在，必须满足以下诸多性质：

一条边，两条面对角线和体对角线必为奇数。另一条边和余下的那条面对角线必被4整除。最后的那条边必须被16整除。

两条边必须被3整除，且其中至少一边被9整除。

人们已经电脑搜索至最短边至，或奇数边至少是以内没有找到完美立方体。令人十分遗憾的是，有些结果是如此接近了“完美”，比如如下这组数可以使体对角线和两条面对角线是整数，可惜另一条不是：(672, 153, 104)。

人们也找到过所有对角线和两条边都是整数，但有一条边不是整数的情况，比如：和。

还有一个打击来自于1972年，Spohn证明：从Sounderson公式导出的欧拉砖中不可能有完美立方体。这等于杜绝了从毕达哥拉斯三元数组向完美立方体的进攻路线。也有证明称：从欧拉的参数化公式最多产生有限多组完美立方体，但上限多少还未可知。

2009年，有人发现了“完美平行六面体”（所有面都是平行四边形的六面体），其三条边最小的长度是271, 106, 103，其6条面对角线和4条体对角线全是整数。给出了参数化的方法，其中还有些平行六面体的两个面是矩形。

(上图：完美平行六面体，几乎就是完美立方体。图片来源：lafayette.edu)

而根据统计，完美平行六面体居然比欧拉砖还多，而且还找到了有两个面是矩形，仅有另一面是平行四边形的完美平行六面体。

总结以上情况就是：如果将“完美立方体”的3条边长，4条对角线的长度，或3个面的形状，总共10个条件中，只需放宽其中任何一个条件，都已经找到了实例，但就是无法找到“完美”的那个。

数学家的研究表明，完美立方体问题是数论中最艰深的问题之一。它从提出到现在约300年，目前看起来解决遥遥无期。费马大定理人类用了358年才解决，完美立方体问题是否需要更长时间呢？

（上文原载于本人2019年出版的数学科普书：《老师没教的数学》中）