”本期“我对你有问题”分享的好书是《如何不出错：数学思维的力量》，作者乔丹•艾伦伯格是数学界的一位超级明星，任教于美国威斯康星大学数学系。本书是比尔•盖茨10本最喜爱的书之一。
下面是分享人Ye对这本书的7问7答。
#01
学数学有什么用？
很多人都有这样的疑问：学那些公式，学那些积分，究竟什么时候我才能用得到呢？
本书作者说，数学不是通过死记硬背进行的一系列计算，算到你失去耐心和活力。那些积分之于数学就像举重和柔韧训练之于足球。你看到踢足球的人运用力量、速度、洞察力和柔韧性投入比赛，这些能力是他们通过周复一周乏味的训练加强的。
如果你觉得那些训练对你来说太多了，那么你也可以和朋友们踢着玩，而不用成为专业足球运动员。那会让你比坐在家里看电视里的足球比赛更健康、更快乐。
数学和这个颇为相似。你可能不会从事以数学为方向的事业，大多数人不会。但是你仍然可以运用数学。数学已经融入我们的思考方式，而且数学能让你把事情做得更好。懂数学就像戴了一副X射线眼镜，为你揭示世界混乱的表象之下隐藏的构造。有数学工具在手，你就可以用更深入、更有效和更有意义的方法来理解这个世界。
#02
什么是巴尔的摩股票经纪人的故事？
有一天你收到了一则来自巴尔的摩股票经纪人的简讯 ，提示你某一支股票要大涨。一星期后，果然如其所言，这支股票涨了。下一个星期，你收到了一则新简讯，这回，提示是某一支股票的价格会跌。事实证明的确如此，这支股票跌惨了。十周过去了，每一周你都收到新的神秘预言，每一次的预言都应验了。
第十一个星期，你迫不及待地把你的存钱交给这位股票经纪人，请他帮你投资理财。
听上去这是一个很不错的决定，是不是？因为经纪人实在是太牛逼了。每一次他有50%的几率猜对，那么头两次猜对的几率是50%的50%，头三次猜对的几率就是50%的50%的50%，依此类推，这位经纪人连续十次猜对的几率是：
(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)x(1/2)=(1/1024)。
这么低的概率，十次连中几乎是不可能完成的任务，那么这位股票经纪人是怎么做到的呢？事实上，在第一个星期，你不是唯一一个收到股票经纪人简讯的人，他发出了10240份简讯，而且简讯的内容不都是一样的。一半人收到的简讯和你收到的一样，预测股票会涨；另一半人收到的预测完全相反，股票会跌。这样的话，5120个人就再也听不到来自经纪人的任何信息了。但是，你，和其他5119个收到相同信息的人会在下一个星期收到新提示。这5120封简讯中，一半说的是和你收到的相同的信息，另一半的预测内容则相反。这个星期后，仍然有2560个人连续两次都收到了正确的预测。依此类推，第十个星期之后，诞生了10位“幸运儿”连续10次收到了这位巴尔的摩股票经纪人的神奇预言。显而易见，这10位“幸运儿”在接下来的日子里心甘情愿地持续给这位经纪人送钱。但是他们再也得不到经纪人预测准确的保证了。
巴尔的摩股票经纪人现如今依然牛烘烘地活跃于金融行业。
如果你很幸运有点钱做投资，本书作者建议你这么做会让你获利最大：抵制住过去12个月收益达到10%的炙手可热的新基金的诱惑，把你的钱放进一个很大的无趣的低收费指数型基金，然后忘了它。这种金融计划被称为“吃蔬菜，走楼梯”。想要身体健康，没有什么灵丹妙药，就是要多吃蔬菜。想要收获成功，没有什么捷径，只能脚踏实地地一步一步爬楼梯。
#03
什么是“幸存者偏见”？
分享一个“幸存者偏见”的故事——Abraham Wald和失踪的弹孔。
Abraham Wald出生于1902年，他出生的城市克劳森堡在当时属于奥匈帝国。第一次世界大战的时候，家乡变成了罗马尼亚的克鲁日。他是一位拉比的孙子，犹太糕饼师的儿子。从小，他就显示出对数学的喜爱。他在奥地利大学学习数学，学习科目是非常抽象和晦涩的集合论和度量空间。他本想在奥地利进行纯数学研究，但由于第二次世界大战爆发，纳粹占领了奥地利，他最后来到纽约哥伦比亚大学做统计学教授。
二战期间，Wald的大部分时间都在SRG（Statistical Research Group 统计研究组）度过。SRG是一个机密服务系统，集结了美国顶尖的统计学家为抗战服务。它有点像曼哈顿计划，只不过制造的武器不是爆炸物，而是方程式。
SRG是曾经组织起来过的最卓越的统计学家团队。而其中，最智慧的人就是Abraham Wald。因为他的“敌国人”身份，从严格意义上来说，他是不被允许看他自己生产的绝密报告的。流传于SRG的笑话是这样的：Wald一写完一页纸，秘书就被要求立刻从他的手里抽走那页纸。
问题来了。你不希望你的飞机被敌方击落，所以你为它们装备防弹钢板。但是，钢板让飞机更重，更不容易操作，以及消耗更多的燃料。装甲太多是问题，装甲太少也是问题，两者之间的某一点是最佳选择。SRG团队的数学家就是要找到这个最佳点。
军方带着一些数据来到SRG。当美国飞机从欧洲战场作战回来的时候，它们的身上布满弹孔，但是弹孔并不是均匀地遍布飞机。数据显示，机身上的弹孔比较多，而引擎上的弹孔并不多。军官们找到了提高效率的好方法：如果你着重在飞机受攻击最多的地方装备防弹钢板，那么你就可以用比较少的钢板来达到同样的保护效果。那么到底需要多出多少钢板装备在飞机的那些部位呢？这就是军方想从Wald那儿了解的答案。但是他们得到的答案并不是他们所预期的。
Wald说，防弹钢板不应该往弹孔那儿安，而是应该往没有弹孔的地方安：往引擎上安。
如果飞机机会均等地挨枪子的话，引擎上的弹孔去哪儿了呢？答案是：失踪的弹孔在失踪的飞机上。飞回来的飞机在引擎上较少受到袭击的原因是那些在引擎上遭受袭击的飞机飞不回来了。大量能飞回来的飞机，它们像瑞士奶酪一样的机身就是一个强大的证明：对机身的袭击应该能被容忍。如果你去医院的康复病房，会看到腿部受伤的人多过胸口受伤的人，这不是因为士兵的胸口没有被枪子打到，而是因为胸口挨枪子的人很难被救回来。
国家并不是因为更勇敢、更自由，或者稍微被上帝更偏爱而赢得战争的。胜利者通常是那些家伙们：少5%的飞机被击落，少用5%的燃料，或者步兵用95%的成本得到了多5%的补给。这不是战争电影会制造的东西，这是战争会制造的东西，过程中的每一步都能看到数学的身影。
对于数学家来说，隐藏在弹孔问题背后的是一种叫做“幸存者偏见”的现象。一旦你熟悉了它，你会发现它无处不在，比如共同基金。某基金公司声称他们的基金在过去10年间平均涨了多少多少，平均每年涨多少多少。你很想把钱投进那些基金，是不是？但是且慢，这里面就存在“幸存者偏见”的问题。共同基金不会永生，有些发展，有些死掉。那些在10年中死掉的基金并没有被包含在公司的统计数据中。如果算入那些死掉的基金，投资回报率将大为下降。
#04
约会时，为什么找和你同款、但略逊于你的助攻僚机会增加成功率？
咱们先从黏菌说起。黏菌是迷人的小生物。生命中的大部分时间，它是微小的单细胞，但是在合适的条件下，上千个这种生物会聚合成一个统一体——原形体。这种形式的黏菌明黄黄的，而且大到肉眼可见。在自然环境中，它以腐烂的植物为食。在实验室里，它真的很喜欢燕麦。
你可能觉得对于黏菌统一体的心理没有什么好说的，因为它们既没有脑子，也没有任何可以被称为神经系统的东西，更别提它们的感受和思想。但是像所有的生命体一样，黏菌会做决定。而且有趣的是，黏菌能做出非常明智的决定。在黏菌有限的世界里，这些决定归根到底大概就是“朝我喜欢的（燕麦）前进”以及“远离我不喜欢的（强光）”。
对黏菌来说，艰难的选择看起来是这样的：培养皿的一边是三克燕麦，另一边是五克燕麦，但是有紫外线照射着这五克燕麦。你把黏菌放在培养皿的中心位置，它会做什么呢？
在这种情况下，黏菌在一半的时间里选择了三克燕麦，另一半时间选择了紫外线照射的五克燕麦。如果你是一位古典经济学家，你就会说，黑暗中的小堆燕麦和强光下的大堆燕麦对黏菌有着等量的效用，它们各有优劣。
把五克燕麦换成十克燕麦，平衡就被打破了。黏菌每一次都向双倍量的燕麦前进，不管有光没光。
然后奇怪的事情发生了。给培养皿中的黏菌三个选项：黑暗中的三克燕麦（3-暗），强光下的五克燕麦（5-光），以及黑暗中的一克燕麦（1-暗）。你大概会预测黏菌肯定不会去1-暗那儿，3-暗堆中有更多燕麦，而且还暗，所以3-暗很明显更胜一筹。事实上，黏菌的确从来没有选择1-暗。
你可能也会这么猜测，既然黏菌之前发现3-暗和5-光有同样的吸引力，在新情况下，它应该会继续这么做。从经济学家的角度来看，新选项的出现不会改变3-暗和5-光效用相同的事实。但是，不！当1-暗存在的时候，黏菌确实改变了自己的偏好，它选择3-暗的次数是选择5-光次数的三倍多。
究竟发生了什么？用数学术语说就是：“不相关选项的独立性”，不相关选项控制结果。黏菌喜欢小堆无光照燕麦的程度和喜欢大堆强光照燕麦的程度一样多。但是如果你引进极小一堆无光照燕麦，那么通过比较，小堆无光照燕麦就被凸显得更优秀，以至于黏菌自始至终都跳过大堆强光照燕麦，每一次都奔赴小堆无光照燕麦。
这种现象被称作“不对称支配效应”。黏菌不是唯一服从于这一效应的生物，生物学家发现松鸦、蜜蜂和蜂鸟都以这种看似非理性的方式行事。
更不用说人了！这里我们将浪漫的伴侣代替燕麦。心理学家请大学生研究对象完成如下任务：
你将与几位候选人见面，假设他们是未来的约会对象。你将被要求选择一位你愿意和他约会的候选人。假定所有未来的约会伴侣都是：(1) 北卡罗来纳大学（或者杜克大学）学生；(2) 和你同属一个民族或者种族；(3) 和你大致同龄。
除了共性，这些未来的约会对象还将依据几项特征进行描述，用百分点来表示每一种特征。百分点的多少反映候选人在那项特征上的相对位置。
亚当：吸引力81个百分点，可靠性51个百分点，智力65个百分点。比尔：吸引力61个百分点，可靠性51个百分点，智力87个百分点。就像之前的黏菌，大学生们面临着艰难的选择。也正如黏菌一样，他们中一半人选择了亚当，一半人选择了比尔。
但是当克里斯加入后，情况发生了变化。克里斯的吸引力是81个百分点，可靠性是51个百分点，这两项都和亚当一样，但是智力这一项，克里斯只有54个百分点。克里斯就是那个不相关选项，很明显这个选项比已经提供的任何一个选项都要差一些。你大概猜到接下来会发生什么了。亚当的轻微蠢笨版本使得真正的亚当看上去更好了。在亚当、比尔和克里斯三人中，选谁作为约会对象呢？差不多三分之二的女人选择了亚当。
所以，如果你是一个正在寻找爱情的单身汉，正在考虑带上哪一位朋友，那么就选择和你非常相像、只是稍微逊色的那位吧。
非理性到底是从哪里来的？我们已经看到过流行观点的“非理性产生于十分理性的个人的集体行为”，但是我们从经验获知，个人不是非常理性的，黏菌的故事说明我们日常行为的矛盾和不一致。个人不理性也许是因为他们不是真正的个人。我们每一个人都有一点集体感，尽我们最大的努力解决争端，在争吵声中商量、妥协。结果并不总是合乎道理，但是就像黏菌一样，这种努力允许我们蹒跚前行而不至于犯太多可怕的错误。民主很混乱，但它行得通。
#05
要不要买彩票？
要不要买彩票？通常来说，不买是精明的决定。老话说，彩票是向傻子征税。
彩票的吸引力并不新奇。回溯至17世纪的意大利热那亚，在那儿，选举制度意外演变出彩票抽奖。每隔六个月，市政府里的两位官员会从小议会议员中产生。对此，热那亚不是进行选举，而是抽签，从一堆写着所有120名议员名字的纸条里抽取两张。不久，热那亚的打赌者开始对选举（抓阄）结果下豪注。这个赌博游戏变得特别流行，导致赌徒们开始对下注结果得等到选举日才能揭晓感到恼怒。他们很快意识到，既然只是从一堆纸条里抽取两张，那么根本就不需要选举。于是，数字代替了政客，到1700年的时候，热那亚就已经发售对现代博彩玩家来说很熟悉的彩票了。玩家们猜测随机抽取的五个数字，猜中得越多，奖金越高。彩票抽奖活动很快蔓延至整个欧洲，又从欧洲传到北美。在美国独立战争期间，不管是大陆会议还是各州政府，都发行过彩票来资助对抗英国的战争。在享受九位数捐款之前，哈佛大学于1794年到1810年通过发行彩票资助修建了两栋教学楼。现在这两栋楼作为一年级新生的宿舍仍在使用中。
不是每个人都会为彩票发展而鼓掌。道德学家认为彩票抽奖等同于赌博，这话说得没毛病。亚当•斯密也是一个对博彩投反对票的人。他在《国富论》里写道：
彩票中奖的几率被高估了。这个世界不曾见过，也永远不会见到一种完全公平的博彩——所得补足所失，因为买彩票的人很有可能一无所获。很多人为了中大奖买好几张彩票，但是买得越多，亏得越多。如果你冒险开拓所有的彩票，那么你肯定是一个彻头彻尾的失败者。
但是严格来说，斯密的结论是不对的。大多数买彩票的人会说，买两张而不是买一张彩票，你成为失败者的几率不会增加，相反你成为成功者的机会却能翻一倍。说得没错！在一个中奖结构简单的博彩里，很容易弄清楚你自己的状况。假设这个博彩有1000万种数字组合，而只有一种组合是赢家。一张彩票一美元，头奖600万美元。
一个人买下每一张彩票，那么他将花费1000万美元，并且将拿到头奖奖金600万美元。换句话说，正如斯密所言，这个战略肯定是彻彻底底失败的，因为亏400万美元。只买一张彩票的小玩家，情况反倒好，至少有1000万分之一的机会大获全胜。
但是如果你买两张彩票呢？那么，你亏钱的几率就会减小，虽然减小的范围介于1000万分之9,999,999到1000万分之9,999,998之间。持续买彩票，那么你变成失败者的概率就持续下降，一直到你买了600万张彩票，在那种情况下，刚好不赔不赚，你赢取头奖的机会是实打实的60%，最终成为失败者的机会就只剩40%了。跟斯密所断言的相反，通过买更多彩票，你让自己更不可能亏钱。
再多买一张彩票，你肯定就亏钱，亏一美元还是亏6000001美元取决于这一张彩票是否是头奖彩票。
买600万张彩票减小了亏钱的几率，但并不意味着这是正确的玩法，损失多少钱才事关紧要。买一张彩票的玩家几乎百分之百会亏钱，但是他知道他不会亏很多钱，而买600万张彩票的人，尽管亏钱的概率较低，但他却处于一个危险得多的境地。
斯密反对博彩的论据所缺失的是一种叫“期望值”的数学概念。假设我们拥有一件物品，它的货币价值不确定，比如彩票：
9999999/10000000次：彩票一文不值
1/10000000次：彩票值600万美元
尽管不确定，我们仍然想要给彩票分配确定的价值。为什么呢？好，如果有个家伙拿着1块2毛钱跑过来想买你手里的彩票，哪一种做法比较明智呢？是成交、把2毛钱收益放进口袋？还是护住彩票、不成交？这取决于你给彩票分配的价值是多于还是少于1块2毛钱。
这里就是你如何计算彩票期望值的方法。对于每一种可能的结果，你将产生这个结果的几率和这个结果之下的彩票值相乘。在这个简化的例子中，只有两种结果：你亏钱或者你赢钱。所以，你得到的是：
9999999/10000000 x $0 = $0
1/10000000 x $6000000 = $0.60.
然后你把结果相加：
$0 $0.60 = $0.60.
所以，你的彩票的期望值就是6毛钱。如果一个博彩爱好者找上门来想花1块2毛钱买你的彩票，期望值告诉你，你应该做这个交易。事实上，期望值说，你一开始就不应该花1块钱买这一张彩票。
期望值是一个不能顾名思义的数学概念。我们当然不“期望”彩票只值6毛钱，相反，它要么值600万美元，要么一文不值，没有中间选项。
相似地，假设你押注10美元赌一条狗有10%的机会在赛狗比赛中夺冠。如果狗赢了，你得到100美元；如果狗输了，你一无所获。这笔赌注的期望值就是：
（10% x $100） （90% x $0）= $10
但是这并不是我期望发生的。事实上，赢10美元就已经压根儿不是我押注想看到的结果了，更何况现在这个期望值结果。一个更合适的叫法可能是“平均值”，因为赌注期望值所真正估量的是如果我在好多只狗上下好多次赌注后，我所期望发生的结果。这么说吧，我像那样押注10美元押了一千次，我可能会赢100次，每次赢钱100美元，那么我总共赢10000美元。因此，我那一千次赌注平均下来，每次就是10美元。也就是说，长期来看，很有可能输赢扯平。
期望值是弄清一件物品恰当价钱的非常好的方法。如果我花12美元买赛狗彩票，长期来看，我很有可能亏钱。如果我可以花8美元买到那些彩票，那么我应该尽可能地多买彩票。现在几乎没有人赌赛狗了，但是不管你是定价竞赛彩票、股票买卖、彩票还是人寿保险，期望值的机制是一样的。
18世纪早期，法国通过卖债券为政府开支提供资金，但是他们给的利息不够有吸引力，销量上不来。为了增加吸引力，政府销售债券的同时搭卖彩票。每一张债券的持有人有权买一张奖金为50万里弗（古时的法国货币单位）的博彩游戏的彩票，这笔钱足够让人舒舒服服地生活好几十年。但是想出这个彩票主意的财政部副部长却把计算搞得一塌糊涂，需要支付的奖金大大地超过了卖彩票的收入。也就是说，对玩家来说，这个彩票有一个正期望值，买了足够多彩票的任何一个人都能大赚一笔。
弄清原理的人是数学家和探险家拉孔达明，他召集朋友们组成一个买彩票联盟，其中一位是年轻的作家弗朗索瓦-马利·阿鲁埃，他的别名更为出名——伏尔泰。
最终，法国政府清醒过来并且取消了这个项目。但是，拉孔达明和伏尔泰早就从政府那里拿走足够的钱，成为了有钱人，富足过余生。你以为伏尔泰靠写完美的散文和戏剧作品维持生活吗？这种方式根本不会让你发财，那个时候不会，现在也不会。
#06
为什么说“如果你从来没有误过飞机，那么你花在机场的时间就太多了”？
George Stigler是1982年诺贝尔经济学奖获得者。他曾经说：“如果你从来没有误过飞机，那么你花在机场的时间就太多了。” 这句话有点反直觉，尽管如此，期望值的计算显示这句话完全正确 ——至少对于那些老是飞来飞去的人来说。为了简化状况，我们可以只考虑三种选择：
选项1: 提前2个小时到，错过飞机起飞2%的时间
选项2: 提前1.5个小时到，错过飞机起飞5%的时间
选项3: 提前1个小时到，错过飞机起飞15%的时间
误飞机让你损失多少主要取决于你所处的境况。误了这班地铁、跳上下一趟是一回事，错过最后一班飞机而赶不上第二天一早亲友的婚礼又是另外一回事。相比误飞机造成的损失，坐在候机厅浪费时间的损失该如何衡量呢？两样都很烦人，但是并没有一个普遍公认的烦人货币来衡量损失的程度。
但是决定还是得做啊。标准的经济学故事是这样的：当人类理性地行动时，他们做的决定一定要效用最大化。生命中的任何事物都有效用。好东西，比如钱和蛋糕，有正效用；而坏东西，比如踢伤的脚趾和误了的飞机，则有负效用。一些人甚至喜欢用标准单位来衡量效用，这个标准单位就被称为效用（utils）。假设你在家的一小时值一个效用，那么提前飞机起飞时间两小时到机场则花费你两个效用，提前一小时到机场就只花费你一个效用。误飞机肯定比浪费你的一小时要糟糕得多，如果你认为误飞机价值六小时，那么错过飞机将花费你六个效用。
把任何事物转换成效用后，我们就可以比较三个选项的期望值了。
选项2基本上是消耗你最少效用的选择，即使它有一定概率让你误飞机。滞留在机场是痛苦的，但是为了减少一丢丢误机概率而一次次在机场多呆半个小时就不痛苦吗？
也许你讨厌误飞机，错过一班飞机将花费你二十个效用，而不是六个。这样一来，上面的计算就改变了，保守的选项1成为首选，期望值变成：-2 2% x (-20)=-2.4 utils.
但是这并不意味着Stigler错了，这只是把折衷点移至另一个位置。你甚至可以早到三个小时来减少误机概率，这么做的话，即使你把误机概率降到了零，随之而来的也是你妥妥地损失3个效用，使其成为比选项1更糟糕的选择。
一个提醒：实际生活中，很难把接近零的概率和实打实的零概率区分开来。如果你是一位全球跑的经济学家，接受1%的误机概率可能就实实在在意味着每年错过一趟飞机。对于大多数人来说，如此低的概率则意味着穷尽一生都不会错过一趟飞机——所以如果1%是你认为合适的风险程度，那么总是赶上飞机并不意味着你做错了什么。同样地，有人会用Stigler的论点举不合适的例子，比如“如果你从没有损坏过你的车，那你开得就太慢了”。而Stigler会说，如果你的车子没有一点损坏的风险，那你开得就太慢了，其实就是说：没有风险的唯一方法是根本不开车！
Stigler式的论点是解决各种各样最优化问题的便利工具。举个美国政府浪费的例子。2013年6月24日《华尔街日报》的“华盛顿电讯”博客上有一则新闻：
社会保障局督察长在周一的时候说，这家机构不恰当地向1546个美国人支付了3100万美元，而这些人应该已故。
而可能更糟糕的是，督察长说社会保障局有每一个人的死亡信息证明，并且存放在数据库中，这意味着社会保障局本应该知道这些美国人已故并且需要停止付款。
为什么我们允许这样的事情持续存在？答案很简单——就像太早到机场有代价一样，消除浪费也有代价。执行目标和保持警惕是值得尊敬的目标，但是就像消除哪怕一丁点误机概率一样，消除所有的浪费所需承担的代价要超过收益。就像博客作者Nicholas Beaudrot观察到的那样，3100万美元只占社会保障局每年福利支付的0.004%。换句话说，保障局已经非常清楚谁活着谁死了，但为了消除最后的那一点儿错误、做到完美则可能会很昂贵。如果我们要计算效用，我们不应该问：“为什么我们要浪费纳税人的钱？” 而应该问：“在纳税人交的税钱中，可以被浪费的合适的金额是多少？” 改述Stigler的论点，就是：如果你的政府完全不浪费，那么你在反对政府浪费上花费的时间就太多了。
#07
为什么儿子的身高往往长不过个高的父亲？再辉煌的企业都会趋于平庸？
Horace Secrist是美国西北商业研究局的统计学教授和主任，他也是把定量分析法运用到商业的专家。从1920年开始到美国经济大萧条之前，Secrist一丝不苟地收集整理了从五金店到铁路公司再到银行等数百家商业公司的详尽数据，试图找出和系统归类使得一些企业兴旺、一些企业衰落的变数。
1933年，Secrist揭示了他的分析结果，这些真相被他写进了厚达468页的书，书里充满了表格和数据图。Secrist直言不讳，他给书起名——《商业，平庸的胜利》。
“平庸趋向于在竞争激烈的商业运营中大获全胜，” Secrist在书里写道，“这是贸易自由带来的代价。”
Secrist是如何得出这一令人沮丧的结论的？首先，他给每一个行业的企业分级，小心翼翼地把赢家（高收益，低开销）和效率低下的废物区分开来。举个例子，Secrist研究的120家服装店按1916年这一年销售对花销之比进行排名，随后分成六组，每一组二十家店。Secrist期望看到头部公司随着时间的推移，利润得到巩固，已然拥有的顶级市场技能被磨练得更加优秀，但是他所发现的情况却与此背道而驰。到了1922年，头部的二十家服装店已经丧失了它们大部分的优势。虽然它们仍然好于行业平均水平，但是总的来说，它们不再出类拔萃。更重要的是，排名最末的那一组公司，也就是最差的服装店，反方向经历了相同的效应——朝着行业平均水平改进了表现。推进头部企业更胜一筹的秘方在短短的六年间消失殆尽，平庸大获全胜。
Secrist发现每一个行业都有这样的现象。五金店回归平庸，杂货店也回归平庸，而且不管你用什么衡量标准都是如此。
Secrist的发现就像一桶冰水向商业精英兜头浇下，因为这意味着他们的奋斗、才能、效率和长时间的耕耘都将烟消云散。
这一现象背后的神秘力量到底是什么呢？它一定和人类行为有关，因为自然界里可看不到这种现象。Secrist用他特有的缜密对美国191个城市7月的平均气温做了类似的考查，没有回归，那些在1922年最热的城市在1931年还是那么热。
经过数十年的统计数字记录，以及对美国商业运营的研究，Secrist认为他知道答案了：这被内嵌于竞争的本质，这种本质把成功企业拉下马，同时把他们无能的竞争对手推向平均水准。Secrist写道：
进入贸易彻底的自由以及竞争的持续意味着平庸的不朽。优越的判断力、经营能力和正直总是受支配于不择手段、愚蠢、误导和浅薄。结果便是零售业过度拥挤，商店又小又差，营业额不足，开销大、利润少。只要商业领域的进入是畅通无阻的（确实是），只要竞争是“免费”的，以及上面所提到的限制是存在的（是这样的），那么优异和低劣都将不会持续到底。相反地，平庸趋向成为规则。行业内，智慧只是平均水平的企业占统治地位，与此贸易思维相通的做法成为规则。
关于教育，Secrist也有话要说。他说：“把所有年龄、具有不同思维能力的学生全都放进一间屋子接受教育，那么，混乱、沮丧和低效自然就产生了。分级、评分和特殊处理是非常可取的，这样的校正为保护天赋才能扫清障碍，使得优越经受住压力、不被低劣打了折扣。”
鉴于Secrist对教育的看法，他的关于向平庸回归的观点传承自19世纪英国科学家和先锋优生学家Francis Galton的理论就不足为奇了。Galton把大部分工作都奉献给了人类特征的遗传性研究，这个特征既是生理的也是心理的。这项工作使Galton总结出一系列用现代眼光看非常落后的政策偏好，这一点可以从他1869年的书《遗传的天才》的开篇管窥一斑：
在这本书里，我将阐释在整个有机世界形态和身体特征的限制下，个人的天赋来源于遗传。所以，尽管有这些限制，通过谨慎挑选，很容易获得天生具有奔跑或者其他特殊能力的狗或猪的永久品种。因此，通过连续几代明智的婚姻，繁育出天才人种是非常行得通的。
智力水平的遗传性应该是真的，但是量化“天才”的遗传性并非易事。Galton不屈不挠地转向比较容易用数值刻度标示的人类特征，比如身高。Galton和其他所有人都已经知道，个高的父母倾向于生出个高的孩子。身高1米88的男人和身高1米78的女人结婚，他们的儿子和女儿的身高很有可能高于平均水平。
但是，这里是Galton非凡的发现：那些孩子不太可能和他们的父母一样高。对于个矮的父母也是同样的，只是方向相反，他们的孩子也矮，但是不会和他们一样矮。Galton所发现的现象现在被称为“向平均值回归”。
Galton推论，“向平均值回归”也同样适用于智力成就，而这和人们的日常经验相一致。伟大的作曲家，科学家，或者政治领袖，他们的孩子在相同领域也往往表现优异，但是却很少有人能够像他们的父母一样卓越。Galton观察到了Secrist后来揭示的企业经营上的相同现象：卓越不会永续，时间流逝，平庸上位。
但是Galton和Secrist之间有一个很大的不同。Galton从骨子里就是一个数学家，而Secrist不是。因此，Galton明白为什么回归会发生，而Secrist却蒙在鼓里。
Galton理解身高是由先天遗传和外部因素共同决定的，后者可能包括环境，童年健康，或者就是纯粹的运气。比如小时候吃东西很营养，没有经历过阻碍发育的异常压力等等。人口中身高最高的那部分人，他们肯定比遗传性所指向的身高更高。他们天生有高个子基因，但是他们也从环境和机会中受到激励。他们的孩子肯定也享有高个基因，但是外部因素没有理由再一次“密谋”促进孩子的身高，以至超越遗传基因所决定的身高高度。所以基本上，他们比一般人高，但是却不会像他们的竹竿父母那么高。这就是引起“向平均值回归”的原因：并不是什么钟爱平庸的神秘力量使然，而是遗传和机会同时作用的结果。这就是为什么Galton写：向平均值回归是“理论上的必然事实”。起初，这些数据令他感到吃惊，但当他一旦搞清楚怎么回事时，他认为就没有其他可用来解释的原因了。
处女作出人意料成功的作家的第二部小说，或者一支超级当红乐队的第二张专辑，很少能和第一个作品相媲美？那不是因为大多数艺术家只有一件事情可说，而是因为艺术的成功是天赋和机遇的混合物，就像人生中的任何一件事，因此都服从“向平均值回归”的规律。
这一关键点对Secrist不可见，但是对于更有数学思维的研究者来说并没有那么难以理解。Secrist的观点普遍受到大家的尊重，但是有一个人却对此唱反调，他就是Harold Hotelling，Hotelling在美国统计学会会刊上对其进行了统计学抨击。像前文提到的Abraham Wald一样，Hotelling也从纯数学开始，在普林斯顿大学完成代数拓扑的博士学位论文。1933年Secrist的书出来的时候，Hotelling是哥伦比亚大学的年轻教授，那时的他已经在理论统计学领域做出了重大贡献，尤其对经济问题做了很多研究与贡献。
从Secrist身上，Hotelling看到了志同道合的灵魂。他充满同情地写道：“这项收集、编纂数据的工作一定是非常巨大的。”
紧接着，锤子落下了。Hotelling指出：任何情况下，当我们研究一个既受到稳定因素、又受到机会影响的变量时，Secrist所发现的平庸之胜几乎是必然的。Secrist详尽调查的结果从数学角度考量是显而易见的，不需要堆积繁冗的数据来证明。Hotelling用一个非常有决定性的观察彻底阐明了他的观点。Secrist相信在时间流逝中竞争的破坏性导致了平庸的回归，是竞争引发1916年的头部企业在1922年难以超越行业平均水平。但是，如果你选择1922年业绩最好的企业，又会发生什么情况呢？根据Galton的分析，这些企业非常可能既幸运又优秀。如果你把时钟拨回1916年，它们所拥有的无论什么优异的管理技能，一定还在生效，但是它们的运气却会大相径庭。不出所料，这些企业在1916年的时候要比1922年时更接近平庸。换句话说，如果平庸的回归真如Secrist所认为的那样是竞争的自然结果，那么这种竞争力既能顺时间产生作用，也能逆时间产生作用。
Hotelling的评论非常礼貌但却坚定，他善意地提醒他这位杰出的统计学同事浪费了生命中的十年。但是Secrist没有领会Hotelling的意思，他在同一份会刊上发表回复信，再一次坚称平庸的回归不仅具有统计学上的普遍性，而且是竞争压力和管理能力共同影响的数据所特有的。到这种时刻了，Hotelling就不再客气，直接挑明观点。他在回复中写道：“你在这本书里诠释得非常正确的命题本质上微不足道。用如此费钱耗时以及用许多种数字研究，比如企业利润和开销之比来证明这么一个数学结果，就好像把大象放置在行和列里证明乘法表，然后用众多其它动物做同样的事。这样的演示也许很有娱乐性，也可能有一定的教学价值，但是无论对动物学还是数学来说，它都不是一份重要的贡献。”
一颗彩蛋：过山车
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