有限元法是计算偏微分方程边值问题的常用方法，把无限个微元的构成的弹性力学偏微分方程问题转换为有限个单元的结点位移线性方程组。基本思想：首先将研究对象进行离散化，分割成有限个单元；对每个单元内部的场变量选取相应的形函数（就是插值函数）；通过单元特性分析得到单元刚度矩阵；对每个单元进行组装，通过整体分析建立整体刚度方程进行求解，得到每个结点处场变量值；最后再利用单元内部的形函数就可得到研究对象任一单元内部的场变量值。
其中，单元刚度矩阵是非常重要的系数矩阵，描述单元的变形和受力之间的关系。像弹簧的刚度系数，表征着是弹簧力和伸长量之间的关系，它们具有相似的物理本质。那么单元刚度矩阵是如何创建的呢，组成单元刚度矩阵的元素又是哪些呢？相信大家看完后对单元刚度矩阵建立会有比较清晰理解。
1 弹性平面问题概述实际的结构件都是空间上的具有三维结构，但如果研究的结构件形状和所受作用力是比较特殊的，在某些工况下就可以把空间的研究问题转化平面问题。对于弹性平面问题分为平面应力和平面应变两种。
平面应力问题指的是类似等厚的薄板，所受力的方向平行板面且沿厚度方向均匀分布。这种形式表征的特点是在厚度方向即z向受力为0，则应力分量满足：
平面应力条件
平面应变问题指的是类似很长的等截面体，所受力的方向平行截面且沿长度方向均匀分布。这种形式表征的特点是在长度方向即z向应变为0，则应变分量满足：
平面应变条件
2 课程知识回顾之弹性力学基本方程在小编的上一篇文章（有限元的理论基础）中介绍了弹性力学中的三大基本方程：平衡方程、几何方程和物理方程，三大基本方程具体推导过程请参考前文。单元刚度矩阵推导需要用到三大基本方程。首先带大家一起回顾下三大基本方程形式。由于本节课描述的是平面问题，选择xy平面上建立三大基本方程：
2.1 平衡方程平衡方程是描述应力分量和体力分量之间的微分关系方程。平衡方程如下式:
平面平衡方程
将平衡方程用矩阵表示为：
其中L为微分算子矩阵，σ为应力列阵，b为体力列阵：
弹性力学中几何方程是描述应变分量和位移分量间的微分关系方程。几何方程如下式：
几何方程可用矩阵描述：
平面几何方程
其中为应变列阵，u为位移列阵，L为微分算子矩阵：
弹性力学中物理方程是描述应力分量和应变分量的关系方程。
物理方程
其中为应变列阵，σ为应力列阵，D为弹性矩阵。
对于平面应力问题：
对于平面应变问题：
其中E和μ分别为弹性模量和泊松比。
3 单元位移形函数由引言可知，单元内任意一点的位移与单元结点位移之间通过一定插值方式建立关系，这种插值方式就是形函数。下面以平面三节点三角形单元为例分析形函数建立过程。
图3-1 三节点三角形单元
图3-1中i、j、m为三角形三单元结点。设单元任一点变形位移的水平分量和竖直分量为u、v。取位移模式为线性模式，用广义坐标法描述单元任一处位移量为：
根据式（3-1）则单元在i、j、m三结点的位移表达式为：
i、j、m三结点的水平和竖直位移根据式（3-2）可列6个方程，6个待定系数可根据6个位移方程求解。再将求解得到的6个待定系数代入式（3-1），经整理可得，单元任一点位移与结点位移之间关系式：
其中即为形函数；A为三角形单元面积，为保证A取正值， i、j、m三结点必须按逆时针进行编号。
总结形函数求解过程：假定位移待定系数（广义坐标）的位移模式，再根据结点位移进行待定系数求解，最后将方程整理成位移与结点位移之间关系式，表达式中每个结点位移前面系数即为形函数。这种求解广义坐标得到形函数方法为广义坐标法。在小编后续文章中会对形函数其它求解方法进行更为详细全面介绍，敬请期待。
根据式（3-2）可用矩阵进行表示：
其中:
称为单元结点位移矩阵;
称为单元结点位移列阵的子列阵;
称为单元形函数矩阵。
4 单元刚度分析4.1 单元应变方程将位移函数（3-7）代入几何方程（2-2）中可得：
其中
称为单元应变矩阵；
称为单元应变矩阵子矩阵。
单元应变方程（4-1）描述了任一点的应变与结点位移关系，即单元应变列阵等于单元应变矩阵与结点位移列阵的积。
4.2 单元应力方程将单元应变方程（4-1）代入物理方程（2-3）中可得：
其中:
称为单元应变矩阵；
称为单元应力矩阵子矩阵。
单元应变方程（4-3）描述了任一点的应力与结点位移关系，即单元应力列阵等于单元应力矩阵与结点位移列阵的积。
4.3 单元刚度方程对于图3-1所示三角形单元，所受结点力：
在虚位移作用下结点力对单元做功为：
而单元产生的应变能为：
由虚位移原理可知，在外力作用平衡下的弹性体，移动虚位移所需外力的虚功等于虚应变能，可得：
由单元应变方程（4-1）得
将式（4-6）代入（4-5）得：
将式（4-7）整理可得单元刚度方程:
其中:
称为单元刚度矩阵。
单元刚度方程（4-8）描述了单元结点力与结点位移关系，即单元结点力列阵等于单元刚度矩阵与单元结点位移列阵的积。
5 平面应力问题的单元刚度矩阵求解设图3-1所示三角形单元厚度为t,则三角形单元体积为At。
将单元应变矩阵B代入单元刚度矩阵（4-9）得：
将单元应变矩阵子矩阵式(4-2）、弹性矩阵D式(2-4)代入(4-10）得到：
