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作者 | 王至宏
广州大学数学系
▪ 从一串数字说起
142857，被誉为世界上最神奇的数字。它发现于埃及金字塔内，是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班......
这是词条上的释义，142857的迷人性质中，有四个比较典型：
①累加轮转
142857自我累加
142857 142857=285714
285714 142857=428571
428571 142857=571428
571428 142857=714285
714285 142857=857142
等式右边均为142857数字的轮转。
②再加翻车
857142 142857=999999
③拆和翻车
把上边6个数分别拆解求和
142 857=999
285 714=999
428 571=999
571 428=999
714 285=999
857 142=999
得数是一排9
④平方拆和
换一种方式，先平方，再拆解求和
平方拆分后再加起来，又回到了142857的倍数。
数学上多数巧合都是数学原理在运作，探究意在挖掘其背后的原理。
为保证探究的条理性，先介绍 QCT 表示系统。
QTC是“问题、主题、猜想与结论”的缩写，即
Q for Question
T for Topic
C for Conjecture or Conclusion
Topic 为探究中心
Question 指引探究方向
Conclusion 和Conjecture 为探究产物
QTC与思维导图结合，可以充分利用思维发散
下边正文开始
▪ 探究主题
T：142857性质原理
▪ 初始问题
Q1：什么样的数具有上边4个性质？Q2：这些数为什么有这些性质？
▪ 初始导图
▪ 命题猜想
将上边四个性质分别命名为“轮转原理”，“翻车原理”，“分合原理”，“平方和原理”，下边开始命题猜想。
不难发现 =0.142857...，142857正好是 的循环节。
猜想C1：循环节数具有上边4个性质。
考虑
=0.0909...，但09显然不行。注意到 的循环节长为7-1。
猜想C2：若a为 的循环节，且循环节长为m-1，则a有上述4个性质。
尝试20以内数： 的循环节长为16， 的循环节长为18，均满足条件，检验 ：
记
下边看看a是否会满足四个性质原理。
轮转原理
都刚好是数字a的轮转，数字较长，就不一一写了。以2a为例：
翻车原理
算出来也是999...
分合原理
平分再求和也是999...
平方和原理
平方拆分求和，结果也是a的倍数。
的循环节很大，计算巧合的概率不高，换言之，C2猜对的可能性很高。同时也说明这些性质并非142857特有。
得出合理猜想，探究就完成一半了。
▪ 当前进展
下边进入正题，以142857为例讨论原理本质。
一、轮转原理
把 逐次乘10，则小数点逐次右移：
两边取小于1的部分，得：
其中 ri 为 10i 模7的余。
由于循环节长为6，所以中间6个数互不相等，且小数前6位由142857轮转得到。与右边算式的小数前6位比较：左边代表轮转数，右边代表累加数，于是得到轮转原理。（右边算式中，省略部分乘 ri不会进1。）
循环节恰好为m-1，在这里起了关键作用。
二、翻车原理:
记a=142857，由于循环节长为6，
正好把循环节移到整数部分，即
左右乘7，便得
一般的，的循环节长为m-1，循环节乘m便得到
（一排999...）
三、分合原理:142 857=999
这里用初等数论定理：
记
, 循环节长为m-1，当且仅当m是素数，且
由定理知 ，
即
为整数， k为循环节长的一半。
142857中，
的循环节前3位为857，正好是 循环节的后3位（循环节刚好平移了一半长度）。由初等数论定理知， 为整数，即其小数和为0.999...，取小数前三位和，即有142 857=999。
四、平方和原理
142857²=20408 122449
记s=20408，t=124499，a=142857
继续分析（玩弄）142857，启发思路。
如果把142857除以7：
142857÷7=20408.142857......
整数部分正好为s，小数部分表明142857模7余1，即：
利用性质二：
得
即a=142857=s t
所以142857平方拆和还是142857
猜想C4:
验证 的循环节，猜想C4不满足，但由形式启发得到C5。
一般性结论的证明和142857类似，将表述过程算式化，可以严格证明上边四个定理。
▪ 探究进展
Q1和Q2解决，C2,C4和C5由猜想变为相应定理。
最后，表述一般性的定理，并由此构造一些更有趣的例子。
▪ 定理表述
▪ 更有趣的例子
①10进制中 循环节满足性质
=0.052631578947368421...，其中循环节不仅满足上边四个性质，而且如果把循环节末尾移到首位：
上边8个数操作后，结果都为原数的2倍。
②7进制下，
的循环节长为4
性质C61-C63的现象：
性质C64中，若循环节被相应的素数整除，性质会更特别：例如(1254)7=0(mod5)
循环节及相应轮转数平方拆和的结果都是6666。
如果4组6666不够玩：(0431162355)7是 在七进制下的循环节，且被11整除。先平方后拆和可以得到10行清一色的6666666666。
QCT探究时，以初始问题Q1Q2导向。探究过程还会产生和主题相关但与Q1Q2不直接相关的问题。这里列举一部分，不妨称这类数为一七数，相关的探究称为一七数论。
Q3：是否有无穷多的一七数？
A3： 对，不难证明，若
在m进制中循环节长为p-1，则 在m kp进制中的循环节长也为p-1。对任给奇素数p，存在无穷多进制使其循环节为一七数。
Q4：是否所有进制中，都有一七数？
A4：并不是，4,16,25,36,49...等进制中不存在一七数。
Q5：若m进制中存在一七数，是否一定存在无穷多一七数？
A5：尚未得知，10进制中有也大量一七数，7,17,19,29,47...等，但是否有无穷多个还待讨论。
Q6：一七数除了上边4个性质，还有哪些？
A6：举个例子：若一七数的长度为3的倍数，则其三等分和必为
Q7：上边性质是否都是一七数独有
A7：未必，比如076923为
的循环节,不满足一七数定义要求，但仍有这两个性质：076 923=999，076923×12=999999。
值得注意到是：076923不满足轮转定理：如076923×2=153846，但乘12以内的整数得数均是076923或153846的轮转此外还满足07 69 23=99
0769232= 5917 147929
5917 147929=153846
▪ 总结导图
QTC-思维导图
从数学的角度看，真正体现美的不仅是142857本身，而是背后的整个进制系统。而142857只是其中的一个搬运工。
到这里，你还觉得是142857这串数字很神秘吗？
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