正方体的计数问题
线、面、体
2020-02-04，女儿问我一个问题：一个7×6×4的长方体木块，在它的六个面都涂满油漆，然后锯成棱长都是1厘米的正方体木块，则锯成的木块中，三面涂色有几块？两面涂色有几块？一面涂色有几块？
2020-02-05，女儿问我一个问题：已知一个正方体木块涂上红色后，把它分割成若干个棱长都是1厘米的小正方体木块，有两面涂色的共108个，那么只有一面涂上红色的有多少块？
上面两个问题都是几何问题，需要一定的空间想象力。我们先来看看这样一个正方体，试着找规律。
正方体的长宽高都相等
正方体是六面体，每个面都是正方形，有12条棱边和8个顶点，在图中能够看见的有三个面，前面（正面）、上面和右面。与之相对的另外三个面是后面、下面和左面。图中6×6×6的正方体由棱长都是1厘米的正方体木块组成。这个正方体共有6×6×6=216（块）小正方体木块。下图是对正面的小正方体木块的定义和分析。
角块、棱块和中心块是源于魔方的概念
上图有6×6=36个小正方体木块。四个角的小正方体木块称为角块，用黄色表示，有三个外表面涂色；四条边有4×4个棱块，用蓝色表示，有两个外表面涂色；中心有4×4个中心块，用白色表示，有一个外表面涂色。
这个正方体有多少个角块呢？从正面看有4个角块，每个角块3面涂色，正方体有6个面，6÷3=2，所以正方体有4×2=8个角块。
这个正方体有多少棱块呢？先看下图。
正方体的面、棱和顶点
看上图，可以清楚地数出正方体有六个面12条棱，所以答案就是4×4×3=48个棱块。第一个数字4表示一条棱边有4个棱块，第二个数字4表示一个面有4条棱边，第三个数字3表示6÷2=3。为什么要÷2呢？因为棱块两面涂色，所以要6÷2=3。
这个正方体有多少中心块呢？因为中心块只有一面涂色，所以正方体一个面有16个中心块，6个面就有6×16=96个中心块。
通过以上分析，我们已经找到规律了。正方体的角块等于4×2=8，棱块等于一个面的棱块数量乘以3，中心块等于一个面的中心块数量乘以6。我们只需要分析正方体一个面的角块、棱块和中心块，就知道了正方体6个面的角块、棱块和中心块。
掌握规律后，我们可以解题了。先看第一个问题。重新解读这个问题，它实际上问的是一个7×6×4的长方体木块，在它的六个面都涂满油漆，然后锯成棱长都是1厘米的正方体木块，则锯成的木块中，有多少角块？多少棱块？多少中心块？
我们分析一个面就能够解答了。角块有8个。棱块有点复杂，棱边分别有4块、6块和7块这三种类型，每种类型有4条棱边块。又因为每条棱边块需要减去两端的角块，所以应该按以下分类来计算：
第一种：（4－2）×4=8
第二种：（6－2）×4=16
第三种：（7－2）×4=20
以上合计44（块）
最后来看有多少中心块。需要分类讨论：这个长方体的6个面可以分为3种类型，每种类型两个面。
第一种：类型6×7，一个面中心块有4×5=20（块），两个面有20×2=40（块）
第二种：类型6×4，一个面中心块有4×2=8（块），两个面有8×2=16（块）
第二种：类型7×4，一个面中心块有5×2=10（块），两个面有10×2=20（块）
以上合计76（块）
题目解答完毕，该写答语了。
答：三面涂色有8块；两面涂色有44块；一面涂色有76块。
现在我们该来解答第二道题目了。题目已知正方体有棱块108个，求中心块有多少？
因为正方体有12条棱，所以一条棱边有108÷12=9（个），那么一个面就有9×9=81（个）中心块，6个面就有81×6=486（个）中心块。
答：只有一面涂上红色的有486块。
正方体不需要分类讨论，相对简单些。这个正方体的棱边有9个正方块，加上两端的角块就有11个正方块，从正面看这个正方体由11×11=121个小正方形构成一个面。
通过以上分析，我们找到规律后顺利解答出了这两道难题。同学们都学会了吗？欢迎留言讨论。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
