中考压轴题必*技圆形辅助线——解析山东临沂中考26题，这道题在解决最后一问的证明中，如果考虑到点F到A，C，E三点的距离相等，从而得到A，C，E是以F为圆心以AF为半径的圆上的三个点，进而借助圆心角和圆周角的关系，对于角CEF角度进行探索和证明的话，会使得解题变得容易许多。这道题可以考察的内容还有许多可以继续探讨的地方，比如三角形FNG的形状是等边三角形，它的边长与BE的数量关系，还有这个三角形的面积的最大值最小值是多少都是可以考察的。视频中有简要分析，感兴趣的网友可以观看。
（2020•临沂-26-分值13）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF＝EF；
（2）求MN NG的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
试题动画制作讲解链接：
试题分析讲解链接：
【分析】
（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF即可得证；
（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN NG的最小值为AC的一半，即可求解；
（3）网传版：延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE ∠FEC ∠FAE ∠FEA，再由AF＝CF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，从而推断出∠AFD＝∠FAE ∠ABF＝∠FAE ∠CEF，从而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°，
龙老师版：连接AC可得点F为△AEC外心，借助圆心角与圆周角的关系，从而推断出∠AFD＝∠ACE即：∠FAE ∠ABF＝∠FAE ∠CEF，从而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°也可以即可证明．
【解析】
（1）连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF＝EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF＝AF，
∴AF＝EF；
F落在AC上时MN NG值最小
（2）连接AC，
∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN =1/2AF，NG=1/2 CF，即MN NG=1/2（AF CF），
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
AF CF最小，即此时MN NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，
即MN NG的最小值为1/2；
（3）∠CEF不变，理由是：
网传版：
延长EF，交DC于H，
∵∠CFH＝∠FCE ∠FEC，∠AFH＝∠FAE ∠FEA，
∴∠AFC＝∠FCE ∠FEC ∠FAE ∠FEA，
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD＝∠CFD=1/2 ∠AFC，
∵AF＝CF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，
∴∠AFD＝∠FAE ∠ABF＝∠FAE ∠CEF，
∴∠ABF＝∠CEF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．
龙老师版：
∵FD和BD分别垂直平分CE和AC
∴F为△AEC外心，
∴∠AEC=1/2 ∠AFC
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD＝∠CFD=1/2 ∠AFC，
∴∠AEC=∠AFD
∵AF＝EF
∴∠AEF＝∠EAF
∴∠AFD＝∠FAE ∠ABF＝∠FAE ∠CEF，
∴∠ABF＝∠CEF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．
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