本文为“2022年第四届数学文化征文活动
欧拉公式的几何证明与意义
作者 : 陈彦宇
作品编号：093
许多教科书中喜欢用泰勒展开来证明欧拉公式。
余弦的泰勒展开：
正弦的泰勒展开：
相加，逆用指数函数的泰勒展开：
Part I 指数函数与e
要理解欧拉公式，首先要理解e，即自然对数的底。 e = 2.71828…
e在数学中十分常见，从光的衰减到用于近似阶乘的stirling公式，从自然对数到正态分布，都有它的身影。毫不客气地说，他是知名度仅次于的数学常数。e最早是在研究复利时被提出的。
假设李华有一单位的本金，存进了银行，年利率为r。那一年之后，他就有了（1 r）单位的钱，但是银行一年结算几次呢？如果银行一年结算2次，则每半年的收益率相应的减为r/2，那一年后李华的总收益就有 。因为r/2也被计入了本金额外产生的利息使李华的总收益增加了。当一年分期越多，总收益就越多。但当期数n趋于无穷时，总收益并不会趋于无穷，。而是趋于一个确定的极限，也就是e。这里的关键在于，虽然n趋于无穷，但每期的收益1/n也在减少。最后两者互相抵消，刚好收敛在一个确定的值。这就是大名鼎鼎的自然对数的底。以时间为自变量对李华的银行存款作图，就得到了我们熟悉的指数函数exp。但如果此时，那么可以发现极限收益率为。
当原本要变化r时，把变化细分成无穷份，每次变化1/n，那最后得到的就是。如果e上放的是虚数，比如iπ，那么发生的是什么？这对应了极限r替换成iπ时的情景，但还是太复杂了，不易处理。
Part II 复数乘法
这是一根数轴
将-1开根号，我们就得到了虚数单位i。
所有实数与虚数组合在一起，就得到了全体复数，也可以说是复平面。复数的加法很简单，只要把数的实部和虚部相加就可以了。
反映在复平面上，就是两个复数对应的向量相加。
例：(a bi) (c di)
= a c bi di
= (a c) (b d)i
但复数乘法却非常复杂，我们要用乘法分配律展开四项，化简处理后，才能得到一个仍然复杂的式子。
复数乘法难道就只有如此粗鄙的理解方式吗？答案是否定的。
例：
=
=
当复数被放在平面上时，我们不仅能用复数的坐标，还能用复数的模长与幅角来表示复数的值。
这两种描述方式是等价的，这就好像把复平面看作极坐标一样。下面，我们来看几个具体的例子。比如，对于复数,它与实轴的夹角为，模长可以根据勾股定理推算出为2。
那如果让它的幅角是呢？利用三角函数，我们很快就求出来对应的复数是。
我们关心的是，两个复数相乘，会发生什么？面对这样一个复杂的数学问题，一个好的习惯就是从例子入手。我们不妨先考虑的情况。
打开四项，用i = -1化简，再将实部与虚部合并同类项，最终得到了。这个结果的幅角是，恰好是两个复数的幅角相加！而它的模长是4，恰好是两个复数模长的乘积！
到了这里，我们好像发现了一个规律：两复数相乘，结果的幅角为因数幅角相加，模长为因数模长乘积。不过，这是我们观察归纳出的结论，并不严谨，事实上，可以通过三角函数的和差角公式，来严格证明一般情况下这一结论。
这意味着什么？这意味着我们对复数乘法有了一种全新的，强有力的理解方式，复数乘法不再是一坨坨晦涩的代数推导，而是被赋予了鲜明的几何意义。
有了复数乘法的几何意义后，我们终于可以直面欧拉公式了。
当我们乘以时小三角形变矮了，因为虚部变少了。当我们再乘以，根据复数乘法的几何意义，我们只要转过相同的角度，放大相同的倍率。从1怎么到，从怎么到它的平方。注意到了吗，扫过的区域任然是一个直角三角形，因为两个三角形是相似的，我们乘以了同一个复数。那n=3呢？以此类推。通过观察所知，随着n不断增大，这些三角形会不断弯曲收拢，最后当n趋于无穷时形成一个半圆。这也就对应了连乘积会越来越趋于复平面左边，可这是为什么呢？让我们来看每个三角形，当n很小时，他们都是直角三角形，斜边与直角边相比每一步都增加了很大的比例。当n很大的时候，斜边与直角边几乎相等，乘上一个几乎不改变原来的模长。当n趋于无穷时，每个三角形近似成了一个很扁很扁的扇形，模长便不再增长了。而整个一连串的三角形变成了一个真正的弧形。
有人可能会觉得这样证明不严谨，每个三角形的增量是无穷小，可以看作扇形，但无穷个三角形就不一定了。1加无穷小为1，但1 无穷小的无穷次方就不一定了。严格来说，这是一个1的无穷次方的未定式。但实际上可以证明，每个三角形带来的模长增量是1/n的高阶无穷小，因此连乘n次的极限结果还是1。受篇幅限制，我就不展开了，有兴趣的可以参考高数课本。
言归正传，我们的任务是：确定这个扇形的终点在哪里？确定了终点在复平面上的位置，我们也就确定了原来连乘积的极限，进而也就确定了e^iπ的结果。看上去-1是一个非常显然的结果，但我们希望能得出一个更加具体的解释。实际上这并不难，回到n = 1的情况。
大三角型的竖直直角部，长度是；当n趋于无穷时，每个小三角形意味着乘以，它的直角边边长就是/n。所有小三角型的短直角边共同构筑了大圆弧的弧长，因此整条圆弧的弧长就是。根据弧长公式，我们立马得到结论：圆心角是，这确实是个完整的半圆。由于半径是1，圆弧的中点就是复平面上的-1，从而我们也证明了欧拉公式，。
数学中有一句话：当一个公式出现时，你一定要去问自己，那个圆在哪里？
当我们谈论欧拉公式时，千万不要认为欧拉公式是变了什么戏法，在实轴上把e变成了-1；恰恰相反，欧拉公式的奥妙在复平面上，它借助极限与单位圆的力量，在实轴上方进行升维打击，绕了一大圈后才来到了-1，如果只有实轴，是不可能完成这一任务的。换句话说，欧拉公式的那个圆，在复平面上。
现在，我们已经对欧拉公式有了形象而扎实的理解。如果公式中出现在复指数上的不是，而是任意角，那会怎么样= ？
当复指数上带入另一个复数，我们仍然可以通过极限来理解。
=?
进一步，我们可以回到熟悉的复平面上通过几何的直觉来理解它。回到刚刚的三角形和弧形，此时，小三角形的短直角边长都变成了θ/n，而不是π/n。最后的弧长也相应变成了θ，而不是π。
逆用弧长公式，此时的圆心角就是θ。
终点落在的位置，即。
例如，当θ = π/2，圆弧的圆心角便是一个直角，终点恰好落在虚轴上，即虚数单位i
当θ =π时，我们就回到了之前的情况，这样我们就得到了更一般的欧拉公式：
你以为故事到这就结束了吗？不，才刚刚开始。欧拉公式与圆有着千丝万缕的关系，许多科学领域用它来表示旋转。在θ中插入ωt，我们就有了一个随时间t增长的圆心角，这，就是旋转，一种可以被数学语言描述的旋转。在力学与电学中，科学家用它来表示振荡；在光学中，物理学家用它来表示电磁波的相位；甚至在傅里叶变换和量子力学中也因此有了欧拉公式的身影。可以说，欧拉公式已经成为理工科不可替代的一块基石，在机械、光学、电力、原子物理等领域有着重要的作应用，并进而影响着我们生活的方方面面。
已发文章>>
001 阅读《数学的故事》有感
002 我想和数学谈场恋爱
003 数学“化错”中的美
004 让数学思考成为数学课堂的主旋律
005 卢梭的“错”？
006 数学教学案例《找次品》
007 基于优化学生数学思维的高效课堂创建——以等腰三角形的判定一课为例
008 从特殊到一般，引导数学思维
009 数学文化融入家庭教育的研究
010 sin 震荡函数的图像分析
011 四阶幻方的“太极图”性质
012 无理数的定义和实数理论的建立
013 一个容易被忽视的问题——数学文化
014 “双减”背景下初中数学学科的合作学习方式探究
015 中学数学德育渗透的方法与路径
016 《数学的力量》读后感
017 基于数学文化的单元统整教学设计——以“圆的认识与面积”教学为例
018 有助于数的理解的数字圈环
019 以折叠为例，探究生长型数学教学模式
020 我从事数学科普写作的经验与启示
021 在阅读中滋长智慧——读《教育智慧从哪里来》有感
022 学习数学史 做数学的使者
023 开数学文化之窗 启数学文化魅力——阅读《美丽的数学》有感
024 “文学独白”——数学教学因你而精彩
025 如何用多面体三等分正方体
026 HPM视角下《圆的周长》教学设计
027 被误解的“勾股定理”
028 好玩的数学
029 帮小青蛙设计一个井
030 万物的基础——数学——读《从一到无穷大》有感
031 读《孙子算经》鸡兔同笼问题有感
032 HPM视角下高中数学多样化作业的设计
033 攀越高峰的领路人——数学文化
034 我的好兄弟：数学
035 细嗅数学文化之香
036 藤蔓的喜悦
037 物理力学中数学的影子
038 复数外传
039 函数的历史和发展
040 数学文化与我
041 数学之趣
042 探索数学知识背后的秘密
043 数学文化和我的数学学习
044 古代算数几何形体——阳马与鳖臑
045 数学文化与我的数学学习
046 我与数学文化
047 “形象”的数学
048 站在巨人的肩膀上学习数学
049 从数学文化和个人影响的角度剖析对数的历史
050 论数学文化
051 我与数学文化
052 正弦定理的源起与应用
053 数学文化融入初中数学教学的实践与思考
054 给数字爱好者的1个全新的0至9数字思考挑战及应用问题
055 并不需要的“承重墙”与数学课改中的问题 —— 兼与马立平博士商榷
056 奇妙的规律
057 生活中的“家常便饭”——数的表示方法
058 读《黄东坡智慧大讲堂——带你发现数学之美》有感
059 通识教育视角下初中数学思维培养从直观向抽象过渡的研究
060 读《古今数学思想》有感
061 为什么圆的面积的导数等于周长？球的的体积的导数等于其表面积？
062 《奇妙的数学文化》读后感
063 数学文化视角下《九宫图的奥秘》教学设计
064 关于毕达哥拉斯定理适用蒙特卡罗方法验证的探讨
065 遨游数学星空，体味数学奇妙
066 核心素养下的，数学文化中的美育渗透
067 探寻数学之奇，欣赏数学之美
068 框架思维——读《数学这样学就对了》有感
069 从肌肉记忆到《几何原本》第四公理
070 《数学大世界》读后感
071 除法才是四则运算的基础：兼与马立平博士商榷
072 从“海盗分金”到“囚徒困境”——博弈该如何进行？
073 “0”与“1”的辩证法和数学学习之路
074 感悟数学
075 我的好伙伴：数学
076 一则寓言故事带来的教学启发
077 神奇的数学 ——最大公因数、最小公倍数
078 怎样学好数学
079 “7”真是个神奇的数字
080 《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》读后感
081 梦想中的职业，都与数学息息相关
082 哪⾥有数，哪⾥就有美⸺读《数学之美》有感
083 探索信息技术融入初中数学文化实践活动
084 秦九韶数学案——随机抽样统计推理的反问题
085 第四次数学危机
086 基于三阶魔方的STREAM教学设计
087 趣味家庭作业 引领学生学习
088 数学之道
089 了解微积分后的那些事……
090 不会？不，会
091 一个偶然的发现——完全数及其基因构造数列
092 在规矩方圆中求索——“圆的认识”的文化育人视界
