我们知道，第一次数学危机的产生是源于无理数，无理数的诞生让古希腊人处于思想的彷徨状态，因为当时古希腊人试图把有理数视为连续衔接的算术连续统（指连续不断的数集）。最终，柏拉图宣告了以数为基础的数学模型的*，提出以几何为基础建设宇宙模型的构想。
而之后，欧几里得总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统（欧几里得-希尔伯特几何公理系统）。还编写出《几何原本》一书。这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物。
欧几里得的《几何原本》对数学的发展起到了巨大的推动作用，被译成了世界各种文字，在它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。
几何原本
虽然在17世纪，笛卡尔创立了解析几何，但直到18世纪末《几何原本》依然是数学家心中的《圣经》，几何领域仍然是欧几里得一统天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容，许多数学家都相信欧氏几何是绝对真理，例如数学家巴罗就曾列举8点理由来肯定欧氏几何。17、18世纪的哲学家从霍布斯、洛克到康德也都从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的。而笛卡儿在发明了解析几何以后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿撰写的物理领域圣经《自然哲学的数学原理》也是建立在几何论证的基础上。从欧拉的《无穷小分析》开始数学才逐渐摆脱对几何的依赖。
笛卡尔几何公式
在《几何原本》里，欧几里得给出了 23 条定义、5条公理、5条公设。公理是在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理，公设则是几何学里的不需要证明的基本原理。近代数学则对此不再区分，都称“公理”。
这里我们要先把前面四条公设先列一下：
1.过两点能作且只能作一直线；
2.线段(有限直线)可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
在这本书中欧几里得不小心给自己挖了个坑，最终导致了 2000 年后非欧几何的诞生。这个坑来源于《几何原本》里的第五条公设，这条公设是说：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两 直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
从公元前三世纪一直到公元十八世纪，人们始终相信欧氏几何是物理空间的正确理想化，但是大家一直对于《几何原本》中的第五公设耿耿于怀，因为相比于前四条公设，第五公设叙述复杂、冗长。《几何原本》中直到第29个命题“一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于两直角”才使用到第五公设，而后再未出现。
所以数学家们都产生了疑议，这就引发了几何发展史上最著名的争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
他们一开始想的就是有没有更简单、明畅的语言来叙述这条公设， 古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就曾经试图重现陈述它，然而这些替代性陈述效果并不比原来的文字更好。直到 18 世纪普莱菲尔才总算总结出一个比较简单的替代性公设：
过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”．
我们中学教材就常用这个叙述形式来替代第五公设。
除此之外，数学家提出第五公设能不能不作为公设,而把它看作一个定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设。
历史上证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫，后来希腊数学家普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，也就是上面提到的普莱菲尔公设。所以这个证明以失败告终。后来，中世纪的阿拉伯数学家奥玛·海雅姆和纳西尔丁等也尝试过第五公设的“证明”。
一直到了 18 世纪，近 2000 年的时光过去， 整个数学体系已经初具雏形。继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。无数困难问题得以解决。许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。法国数学家达朗贝尔在1759年说。第五公设问题是“几何原理中的家丑”。
于是，无数数学家开始向第五公设发起了冲锋，试图将它攻陷，18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，萨凯里最终选择放弃了最后结论。
萨凯里求解过程
其实他对于锐角的假设是成立的，他后来成为了罗巴切夫斯基几何（双曲几何）的基础之一，哎，可惜了，如果再大胆一些，双曲几何就叫萨凯里几何了。
而瑞士数学家兰伯特也采用了萨凯里的求证思路，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。
兰伯特
他在此基础上进行了大胆的猜想：如果过直线外一点如果没有直线与之平行或者不止一条直线与之平行的情况下，也许存在可能的几何学而不产生矛盾。兰伯特和萨凯里都走到了非欧几何的门槛，但是因为时代的原因，最终没有迈过去。
而到了高斯手里，才算开始得到解决，高斯15岁的时候就饶有兴致地思索起了这个困扰了数学界近两千年的难题。他亲自做了实地测量，来讨论我们生存的空间存在非欧几何性质的可能性。
到1813年，高斯已经形成了一套关于新几何的思想，他称之为“反欧几里得几何”后来又改称“非欧几里得几何”。并且坚信这种新几何在逻辑上也是相容的，且有广阔的应用前景。但高斯又是个较为保守和谨慎的数学家，也忧心与那些顽固分子对这一发现的攻击，所以生前并未公开发表这一成果。
他的行为也打击到了一位青年数学家波尔约，波尔约和他父亲一样（他父亲老波尔约和高斯是同学），醉心于第五公设研究，在研究之中他得出了非欧几何的基本原理。1823年，这位骄傲自豪的父亲将儿子长达26页的论文《关于一个与欧几里得第五公设无关的空间的绝对真实性的学说》满怀自信地交由自己的老同学高斯审阅。但高斯的回应对父子二人来说犹如晴天霹雳。
高斯表示，自己并不能称赞，因为称赞他就等同于称赞自己，因为这些成果与自己30年前思考的结果相同……然而年轻气盛的波尔约却坚信是高斯剽窃了他的成果，这沉重打击了约翰对数学的热情，选择放弃了数学研究。
玻尔约及其遗留手稿
因为高斯对于研究成果的秘不发表，而玻尔约转而研究神学。到了罗巴切夫斯基手里，第五公设才最终得到了解决。他用了与第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线，“作为假设，把它与欧氏几何的其他公设结合其他，然后约定这个断言为公理，若这个假设与其他公设不相容，则得到了第五公设的证明，并由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这就是高斯遗稿中所命名的《非欧几何》。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释也叫做非欧几何学的欧氏模型。
而到了 1854 年，高斯的学生黎曼以高斯“过直线外一点，没有直线与已知直线共面而不相交”为公理去代替欧几里得平行公理，创立了另一种非欧几何，人们称之为黎曼几何。简称为黎氏几何，亦称椭圆几何。在这种几何中,欧几里得第五公设和直线可以任意延长就被否定了,在这种几何中,对于每一条直线,都存在一个这条直线能够延长的最大长度。过给定的两点,总可以作一条以上直线;三角形内角和大于180度,且超出的量与三角形面积成正比。
黎曼的证明思路来自于高斯，证明高斯的确对非欧几何有过深入研究
非欧几何与欧几里得几何虽然结果不同，但它们都是无矛盾的几何学。非欧几何甚至还可以在欧几里得几何的某些曲面上表现出来。非欧几何的产生打破了几何空间的唯一性，反映了空间形式的多样性。
自此，非欧几何里的两大支柱罗氏几何和黎曼几何就此诞生，而欧几里得留下的第五公设难题也被完全解决。
左罗右黎
但在当时欧氏几何的权威性让非欧几何被数学家接受遇到了很多的阻力，比如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，为了能够让非欧几何被数学界接受，众多数学家开始寻找非欧几何的现实模型（建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁）。
黎曼几何的数学模型非常好找，黎曼几何的现实模型叫球面几何，但是罗氏几何的数学模型寻找就非常困难了，最终，克莱因和庞加莱先后给出了罗氏几何的数学模式。 此后大部分数学家接受了非欧几何学。众多数学家指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。
可以说，欧几里得无形中挖的坑，在 2000 年后开出了最璀璨的花朵，非欧几何学的创立促进了 一些新的数学分支的产生，如数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等，公理化方法也获得了进一步的完善。
非欧几何除了促进欧洲哲学的发展，也为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而相对论给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。
