头脑风暴之最佳策略（头脑风暴）

田忌赛马的故事

齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等。比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马。由于齐威王每个等级的马都比田忌的马强得多，所以比赛了几次，田忌都失败了。田忌觉得很扫兴，比赛还没有结束，就垂头丧气地离开赛马场，这时，田忌抬头一看，人群中有个人，原来是自己的好朋友孙膑。孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少呀。” 孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼：“想不到你也来挖苦我！” 孙膑说：“我不是挖苦你，我是说你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他。” 田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换一匹马来？”孙膑摇摇头说：“连一匹马也不需要更换。”田忌毫无信心地说：“那还不是照样得输！”孙膑胸有成竹地说：“你就按照我的安排办事吧。”齐威王屡战屡胜，正在得意洋洋地夸耀自己马匹的时候，看见田忌陪着孙膑迎面走来，便站起来讥讽地说：“怎么，莫非你还不服气？” 田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”说着“哗啦”一声，把一大堆银钱倒在桌子上，作为他下的赌钱。齐威王一看，心里暗暗好笑，于是吩咐手下，把前几次赢得的银钱全部抬来，另外又加了一千两黄金，也放在桌子上。齐威王轻蔑地说：“那就开始吧！”一声锣响，比赛开始了。孙膑先以下等马对齐威王的上等马，第一局输了。齐威王站起来说：“想不到赫赫有名的孙膑先生，竟然想出这样拙劣的对策。”孙膑不去理他。接着进行第二场比赛。孙膑拿上等马对齐威王的中等马，获胜了一局。齐威王有点心慌意乱了。第三局比赛，孙膑拿中等马对齐威王的下等马，又战胜了一局。这下，齐威王目瞪口呆了。

比赛的结果是三局两胜，当然是田忌赢了齐威王。还是同样的马匹，由于调换一下比赛的出场顺序，就得到转败为胜的结果。

这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。

最佳策略概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最佳策略问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。

最佳策略问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。

下面让我们一起来尝试：

经典例题1：

两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？

分析与解答：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、„、4. 只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100. 但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2„）因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

牛刀小试

如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）

经典例题2：

有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？

分析与解答：这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。

解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。

牛刀小试

下图是一张由4×10个方格组成的棋盘，一人持白子置于A位，另一人持黑子置于B位。随后两个人轮流走子，每一次可以沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守下列游戏规则：

（1）不允许和对方的棋子在同一条直线上。

（2）不能越过对方棋子所在的直线。轮到谁无路可走，就算输。

1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8之内的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？

2、桌面上有1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁获胜。问获胜的策略是什么？