作者：NAG-duelistys
作为从S1就开始玩的云顶老玩家，在NGA也看了不少攻略，NGA的阵容也被我从拉面熊偷到明昼射，受益匪浅，总想着什么时候也能把自己的一些心得分享给NGA老哥们(笑)。恰逢S5来临，便整合了一些抽牌概率的数据，也自己计算了不同等级的抽牌期望，希望能在数学的角度上帮助大家更好地理解云顶这个游戏，毕竟有概率的地方就有数学。
(注：以下数据除单卡数量来自于云顶之弈主题站，其余均为楼主从游戏中抄录或计算)
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1、首先我们来看一下各等级对于不同费用卡片的刷新概率及各费用单卡种类及数量：
以上数据作为计算基础，那么让我们来明确几个概念，以免对于一些数学知识不了解的同学产生理解上的障碍：
期望：期望指的是一次试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，放在本贴里就是要抽一张指定牌的平均金币花费，当试验次数趋近于无穷时，平均金币花费将无限接近于期望值。
方差：虽然期望能反映抽牌需要的金币数量，但是期望还受到一个值的约束，即方差，方差代表着概率的离散程度，方差越大，实际花费偏离期望值的可能性越大。
那么在计算之前，楼主还想说几句，期望值和方差都只是作为一个参考，毕竟云顶运气游戏，概率即使再小也是有可能出现的，连行窃征兆5分钟全是5块钱都出现在S赛上了不是吗？所以本贴的目的是帮助兄弟们加深理解，并不是给出在游戏里绝对正确的数值。
2、在理想情况下的各等级抽牌期望表
理想情况是指没有任何人从卡池里拿牌，卡池里所有棋子的数量均处于初始值，理想情况是实战中的一个参考，能初步反映各棋子的花费差距，想要看实战分析的同学可以直接跳到第三点。
表格内数据代表抽第x张指定的某费牌所需要的金币期望，如1费牌与5级所对应的格子内的数据就代表在5级抽第一张指定1费牌的金币期望为11，第二张的期望为11，第三张为13，直到第九张的金币期望为15。
理想情况下的抽牌期望表可以帮助我们预测我们要抽的牌需要的金币期望数，以5级追1费卡三星为例，许多人喜欢卡五十块每回合慢慢D，但是从期望表可以看出，在已有6张指定1费牌的情况下继续追第7张指定1费牌的金币期望数为15，也就是说一回合基础金币为10块的情况下可能攒两回合或三回合再D可能会更符合期望，次数越多结果会与期望数越接近，当然，欧皇D就完事了。
同理，在7级的情况下想要抽到一张指定4费卡来补充战力，最好保证你有32 块金币，8级想要D出2星4费，血量允许的情况下最好能有40块来D。
且在计算单张牌出现指定牌的概率情况下，可以把抽牌看作二项分布，所有牌通过公式计算的方差处于0.5-1.5之间，也就是说花了同样的钱上下波动1-2张都是可以理解的现象哦。
3、实战分析
然而，抽牌期望表毕竟是在理想情况下计算的，在实战中还存在其余对手拿牌来削减卡池，或是被别人卡牌的情况，这时候想要计算出D牌的金币期望，就需要具体情况具体分析，以下楼主思考了几种情况下的假设：
1)追三星1费卡的几种情况：
在4级已白P到6张卡的情况：这时我们可以假定场上的玩家大量处于5级，少量处于4级，家可能每人持有6-9张一费卡，假定平均值为7.5，此时抽取第7/8/9张所需1费牌的金币期望为9/11/11，想要抽出3星1费的期望为31块；若在5级D，此时随着战力提高假定玩家平均持有1费卡数为6，抽取第7/8/9张所需1费牌的金币期望为11/13/13，金币总期望为39。
可以看到期望的差距总体体现在第九张牌，玩家可以根据自己的情况酌情考虑，如果在4级时还差太多的牌，推荐在5级D，如果只差1-3张，那4级和5级的金币期望差距在4-8块，这在前期还是比较多的钱，更何况越早D出保持连胜的机会越大，追回50块的时间也越早。
已有6张后5级卡50块D的情况：这时场上玩家基本处于5级中后期或6级，持有的1费卡数量进一步减少，假设平均为6，此时抽取第7/8/9张所需1费牌的金币期望为11/13/13，总金币期望为37，则推荐至少攒两回合来D一次抽出的机会更大。
毕竟即使运气比较好抽出1张来也是无法立刻提升战力的，当然，在血量不健康的情况下还是能早D就早D，具体情况具体分析。
2)7级白P两张指定4费卡的情况下要不要抽出2星：此时假定场上玩家人均持有2张4费卡，抽出第三张指定4费卡的金币期望为34块，若攒到8级来D，此时假定场上玩家人均持有4张4费卡，金币期望为18块，差值为16块。
这时就可根据升级经验需要的金币数、自身血量及场上同棋子数量酌情考虑。因为在S5版本提高了7级8级4费卡的刷新率，所以7级两星4费的概率大大提高，如果已有两张的情况下直接D可能直接打一波连胜且不会消耗太多金币。
3)尼寇之力的价值，在不追3星5费的情况下我们可以通过期望来判断尼寇之力的价值，在7级捏5费卡的价值为300 金币，如果已经有两张不用犹豫直接捏，随后是8级捏五费卡，也有接近100的价值，而且因为4费卡概率提升的原因。
在算上卡池削减的情况下，捏第九张4费的价值和捏第三张5费的价值也相差不大，至于5级捏第九张1费卡则是完全不推荐，从期望上来说他只值20块左右。同理，期望也可以用来判断选秀阶段要不要牵五费卡，请结合期望表和自身金币酌情判断。
4、总结
虽然在实战还是要看运气，是欧是非完全两个游戏，但是期望的参考价值是我们不可忽视的，可以帮助玩家更好地抉择自己的经济策略，但也不可太过相信期望，要结合实际对局具体分析。且因为实战情况复杂多变，在实战分析上只是举出几个例子，没有覆盖特别多的场景。如果大家对于某些特定场景想要知道抽卡期望，可以在下方留言，我会帮大家计算的。
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补充：
以上概率采取二项分布的方式计算，E=|(100×(M*m-n))/(x*y)÷5|×2 z
其中||为向下取整；
M*m为该费卡在卡池中总数量，M为该费卡的种类，m为单张卡数量，如一费卡即为13*29；
n为场上已有的该费卡数量；
x为当前等级下该费卡的刷新率，如5级下抽取一费卡，x=45;
z为购买该张卡的费用。
如二楼所说，二项分布的缺点是只有在抽取趋近无限的情况下结果才会处于稳定的值，有限次的抽卡的偏差可能会较大，楼主在主楼里的计算方差为每张卡都在0.5-1.5之间。
为进一步缩小误差，因此，以下再给出超几何分布的计算公式：
根据抽取单张卡的数量来计算需要抽取的牌数的期望
超几何分布记作X~H(n,M,N)
其中，N为在该费卡的卡池总数，如理想情况下一费卡N=13*29；
M为指定牌的数量，如VN这张牌的M=29；
N为抽取次数，即需要抽取的该费牌数量；
通过逐张抽取指定牌的方式可以看出抽出第x张指定牌的期望，所以这里假定E(牌)=1；
则n = N/M
所需金币期望为E = | n/(5*p)|×2 z
||为向下取整;
p为当前等级下该费卡的刷新率；
z为购买该张卡的费用。
超几何分布的二项分布的关系就在于在抽取趋近无限的情况下超几何分布的期望无限趋近于二项分布，有限次的情况下相对来说超几何分布更准确一些。
等我什么时候有空的时候再来更新下理想情况下的超几何分布表和实战分析，再次特别感谢大佬的建议^^。
