女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
1742年6月7日，克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)给莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)写了一封信，指出任何大于4的偶数都可以表示为两个奇质数的和。哥德巴赫的猜想是一个跳板，为我提供了创作一系列艺术品的灵感。受这个简单语句启发而生成的图案是密铺图案，具有偶数个密铺，这些密铺被划分为两个集合。每一组由素数的拼块组成。这些拼图是底图，用于使用传统和非传统材料构建有趣的艺术品。
1. 介绍
参观画廊或博物馆后，我经常会有灵感。我的第一个绘画老师告诉我，你不能等待灵感，但你必须工作。灵感来自工作，而不是等待。在这篇文章中描述的一系列艺术作品之前，我参加了AM98(1998年8月3-7日在加州大学伯克利分校举行的艺术与数学会议)。我发现程序[1]和研讨会很吸引人。会议结束后，成为一个有贡献的参与者成为我的目标。此后的很短一段时间里，我一直在寻找一个简单的数学概念，作为业余数学家，我可以为我的艺术目的而促进和控制它。随着时间的推移，这促使我开发了一个基于克里斯蒂安·哥德巴赫猜想的系统。在1742年6月7日写给莱昂哈德·欧拉的信中，哥德巴赫提出，每个大于4的偶数都可以表示为两个奇质数[2]的和。换句话说，每一个正偶数写成2n的形式，其中n>2，可以表示为2n=p q，其中p和q是奇质数。欧拉试图证明这个猜想，但从未成功。从那时起，数学家们就一直在为这个问题而苦苦挣扎。2000年3月20日，英国Faber and Faber出版公司发行了一本英文小说，这本小说最初于1992年以希腊文出版，[3]讲述了一位数学家为了证明这个困难的猜想而浪费了生命的故事。彼得罗斯叔叔和哥德巴赫猜想(Apostolos Doxiadis)的出版引发了一场庆祝其出版的比赛。在2000年3月20日至2002年3月20日期间，任何能够证明哥德巴赫猜想的人都将获得100万美元的奖金。这一挑战是与美国布卢姆斯伯里出版社(Bloomsberry Publishing)联合发布的，该出版社是该书的美国出版商[4]。没有人领奖。
当上次报道时，哥德巴赫猜想已被验证为所有偶数，直到6×10^16[5]。这意味着，出于艺术目的，我可以使用任何我喜欢的偶数。经过长时间的反复试验，我最终找到了将一个正方形划分为32个全等三角形的方法，如图1所示。我通过在纸上绘制对角线来构建这个分区，首先将正方形的对角连接起来，然后将四个三角形进行细分，即等分，得到八个三角形，并重复等分两次，总共得到32个相等的45-45-90三角形(拼块)。在确定了2n = 32后，因为32 = 19 13，所以我将32个三角形分成两组，分别由19个三角形和13个三角形组成，可以用于设计美术作品。图2显示了使用两组三角形的正方形的第一个密铺图，其中黑色用于13组三角形，白色用于19组三角形。
图1：一个分成32个全等三角形的正方形(1999)。
图2：用三角形来密铺正方形，用黑色来表示质数13，用白色来表示质数19
为了决定使用我的两组三角形的正方形的哪一组可以为我提供有希望的设计可能性来制作图纸，绘画和组合，我将一个分割的正方形切割成三角形，这个正方形是用图1所示的图案放在一张深色的纸上的。通过将13个三角形以不同的方式放置在同样分割的白色正方形纸上，我能够选择那些在视觉上吸引我的布局，以达到艺术目的。
下一步，我在同样的黑白设计布局中画了两个正方形，然后又画了两个正方形，它们是最初设计的镜像。这些是我用水粉画的，水粉是一种不透明的水彩，用颜色来区分质数13和19。以两种不同的方式将四个着色的方块组装起来，以创建如图3所示的模块化绘画。根据定义，正方形的所有边都等长；因此，它们的边缘对齐以允许多个重复的方案。当使用两个镜像正方形的模块时，可以产生更大的四个正方形的双边对称设计。然而，由于我觉得对称性妨碍了设计，我随后安排了一些密铺的方块，通过使用四分之一圈旋转来打破对称性，如图4和图5所示。这就是我的收藏的起源，我称之为“哥德巴赫密铺”。在制作了这一系列广泛的图画、绘画和组合之后，我将它们分类，现在我将对它们进行描述。
图3：图2中的四个密铺的正方形以两种不同的方式组合在一起，形成对称的设计
图4：向右转四分之一圈
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图5：由于密铺方块的旋转而造成对称的破坏。请注意，当正方形相遇时，会形成额外的几何形状
2. 分散排列
第一类我称之为“分散排列”[6]。在这一类作品中，三角形的分布被分成几组，当几个方块拼接在一起时，提供了几个与指定素数相似的颜色或纹理的小形状。注意，在图5中，当密铺设计方块连接在一起时，会形成额外的几何形状。通过视觉分组产生的节奏允许观众观察到反复出现的图像，如三角形，正方形，梯形和自由形成的形状，当两个或多个拼块设计合并形成分散的排列。我觉得这些作品建立了一种平衡，让眼睛在整个构图中寻找，在正式/对称的平衡，非正式/不对称的平衡和径向平衡之间徘徊，因为它们对称地围绕着一个中心点[7]，如图6所示。当在同一画布上组合两个以上不同的密铺方形设计时，这一点也变得明显。图7显示了三个示例，其中合并了几个不同的密铺方形设计。
图6：使用单个密铺正方形的多个副本的分散排列组合，10×10英寸
图7：三个分散的排列示例，每个10×10英寸，使用四个不同的密铺正方形
3.紧密排列
第二类，我称之为“紧密排列”[6]，仍然基于32 = 13 19的分解，但是在紧密排列中，在密铺正方形的最终设计中只有两个可辨别的形状是明显的。通过合并几个这样的密铺方块，我形成了一个网格，通过强调密铺方块相遇的边缘，而不是分散排列中明显的形状互锁的形成。图8显示了使用九个密铺的正方形形成的网格示例。
图8：紧密排列
我使用直边在画布上绘制和标记我的设计中的单个密铺方形，但是一旦图案到位，就会用取自大自然的纹理来创造视觉上的刺激，包括种子、叶子、干花、豆荚和果皮，以及在典型的艺术用品商店中发现的颜色和其他纹理的应用。这些材料的使用不会掩盖基本的设计，而是在胶水的帮助下，增强和固化它。图9和图10展示了另外两个紧密排列的例子。
图9：紧密排列，丙烯帆布画，64×54英寸
图10：紧密排列，48×48英寸；帆布上的亚麻雕版印花、彩色油墨、种子、珠子、织物、橘皮
4.方形排列
对于我称之为“方形排列”的类别，基本设计已经改变。我从一个7×6英寸的矩形开始，将它分割成42个相等的正方形，即拼块，通过将这些正方形分成两组分别代表31 11或23 19的正方形来进一步区分它们。我通过在矩形的每个边界上测量和标记一英寸的线段，然后用手画出连接相对标记的线来构建这个分区。注意，在图11中，黑色用来表示质数11，白色用来表示质数31，而在图12中，黑色用来表示质数19，白色用来表示质数23。图13提供了由利用正方形排列的单个密铺矩形的多个副本组成的完整艺术品的图示。
图11：用黑色表示质数11或白色表示质数31的正方形来密铺一个矩形
图12：用黑色表示质数19或白色表示质数23的正方形在矩形上密铺
图13：方形排列；镜子，薄纸，绝缘板，木薯淀粉和石膏帆布，28 × 24英寸
5.六边形排列
将一个六边形分割成2n个等边三角形，其中2n等于54，奇素数和为17 37或23 31，这是“六边形排列”的推动力[6]。我通过在我的电脑上“点击并拖动”将54个等边三角形组合成一个六边形来构建这个分区。每个六边形的分区由54个等边三角形组成。图14和15分别展示了我使用的两个六边形排列的两个例子。它们类似于分散排列中的密铺，因为有两个以上可辨别的形状是明显的，并且当加入颜色时变得更加明显，如图16和17所示。
图14：用三角形来密铺六边形，用黑色表示质数17，用白色表示质数37
图15：用三角形来密铺六边形，用黑色表示质数23，用白色表示质数31
图16：六边形排列使用颜色来增强视觉效果
图17：昆虫挂件采用六边形排列，如图18所示
图17显示了两种不同颜色的六边形排列。对于我利用六边形排列的设计，我已经通过合并它们的边或通过关联来自由地排列它们。出于艺术目的，使用多种合适的设计来合并边是有用的。即使单个六边形排列没有合并，而是仅仅通过放置而相互关联，也会产生额外的艺术可能性。图18显示了通过合并边形成的两个六边形排列组合。在图19和图20中用于创建哥德巴赫瀑布的条带上，当印刷在纸上时，不是所有的单个六边形排列都接触，而是通过放置在纸条上和放置在雕塑的构造中与设计相关联。
图18：六边形排列组合使用一个密铺六边形的多个副本，8×10英寸
图19：哥德巴赫瀑布，“六边形排列”印在悬挂在支架上的半透明纸上，还有珠子、纽扣、线、织物等，8×3×2英尺
图20：哥德巴赫瀑布的细节如图19所示，请参见本图彩色版本的插页。
6. 观察
我认为我的设计方法类似于作家对语言的使用，其中单词由相同的26个字母组成，但通过单词的排列作为经验的表达，在个人层面上陈述经验和意图。这些设计的简单本质挑战了我构建一个对我有美学意义的艺术品。回想起来，我也可以得出这样的结论:我的艺术灵感从我小时候就躺在我的床上。我不否认，生活中的一系列事件会影响一个人的作品，但当我第一次开始创作《哥德巴赫拼块》系列时，我从未有意识地考虑过我小时候母亲缝的一块块绗缝毯子，或者我睡觉时邻居缝的铺在顶层的毯子。我现在想起它们是因为我基于哥德巴赫猜想的作品赋予了它们新的意义。
参考文献
[1] AM98, 1998, Art and Math Conference, University of California Berkeley, Berkeley CA, 3–7 August.
[2] Guy, R.K., 1994, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd edn, Vol. 1 (New York: Springer-Verlag), p. 105.
[3] Derbyshire, J., 2003, Prime Obsession (Washington, DC: Joseph Henry Press), p. 371.
[4] $1,000,000 Challenge to Prove Goldbach’s Conjecture, Faber and Faber. Available online at: http://webarchive. org/web2002080303574//www.faber.co.uk/faber/milliondollar.asp (accessed 17 March 2007).
[5] Oliveira de Silva, T., Verification of the Goldbach Conjecture up to 2 times 1016, NMBRYHRY@
listserve.nodak.edu mailing list, 24 March 2003. Available online at: http//listserv.nodak.edu/scripts/wa.ese?A2¼ ind0310&L¼nmbryhry%P¼168 (accessed 17 March 2007).
[6] Nau, S., 2006, Tiled artworks based on the Goldbach Conjecture. Paper presented at Bridges London: Bridges Mathematical Connections in Art, Music and Science Conference, London, UK, 4–9 August.
[7] Zelanski, P. and Fisher, M.P., 1994, The Art of Seeing, 3rd edn (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc.), pp. 190–194.
[8] S. Nau, Artworks based on 2n=p q
青山不改，绿水长流，在下告退。
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