题：如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，求EF/AB的最小值.
此题难度一般，本人在《经典再现22》一文中抛出了一块砖(如下解法一)，引来了多块玉，许多网友纷纷评论，给出了更为巧妙简便的解法，现整理为如下的解法二、三、四。或许还有其他解法，欢迎各位高手不吝赐教。
解法一：如图2，连接AC.则∠BAC=∠DAC=45°，
所以∠BAE ∠EAC=45°，
因为∠EAF=45°，
所以∠EAC ∠CAF=45°，
所以∠BAE=∠CAF.
同理，∠DAF=∠CAE.
作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H，则
∠AGE=∠AHF=∠B=∠D=90°，
所以△ABE∽△AHF，△ADF∽△AGE，
所以BE/HF=AE/AF，DF/GE=AF/AE，
两式相乘，得
BE/HF•DF/GE= AE/AF•AF/AE=1，
所以BE•DF=GE•HF，
因为△GCE和△HCF都是等腰直角三角形，
所以GE=CE/√2，HF=CF/√2，
所以BE•DF=CE•CF/2.
设正方形ABCD的边长为1，CE=x，CF=y，则
BE=1-x，DF=1-y，
所以(1-x)(1-y)=xy/2，
整理，得xy=2(x y)-2，
所以EF=√(x^2 y^2)
=√[(x y)^2-2xy]
=√[(x y)^2-4(x y) 4]
=√[(x y)-2]^2
=|x y-2|，
显然，x y<2，
所以EF=2-(x y).
设x y=s，则EF=2-s，y=s-x，
因为xy=2(x y)-2，
所以xy=2s-2，
所以x(s-x)=2s-2，
整理，得x^2-sx 2s-2=0，
因为x为实数，
所以△=s^2-4(2s-2)≥0，
即s^2-8s 8≥0，
解得s≥4 2√2或s≤4-2√2，
所以s最大值为4-2√2，
所以EF最小值=2-(4-2√2)=2√2-√2.
所以EF/AB的最小值为2√2-2.
解法二：如图3，因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=AD，∠DAB=90°，
所以将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，则
AG=AF，BG=DF，∠BAG=DAF，∠ABG=∠D=90°，
所以G、B、E三点共线，
所以EG=BG BE=DF BE。
在△AGE 与△AEF中，
因为∠EAF=45°，
所以∠BAE ∠DAF=45°，
所以∠GAE=45°=∠EAF，
又AE=AE，
所以△AGE≌△AEF，
所以EF=EG，
设正方形ABCD的边长为1，BE=a，DF=b，则
EF=a b，CE=1-a，CF=1-b，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
(1-a)^2 (1-b)^2=(a b)^2，
整理，ab a b-1=0，
设a b=s，则a=s-b，代入上式，得
(s-b)b s-b b-1=0，
整理，得b^2-sb 1-s=0，
因为b为实数，
所以△=s^2-4(1-s)≥0，
即s^2 4s-4≥0，
解得s≥-2 2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，
所以s最小值为2√2-2，
即EF的最小值为2√2-2.
所以EF/AB的最小值为2√2-2.
解法三：如图1，设正方形ABCD的边长为1，BE=a，DF=b，则CE=1-a，CF=1-b，
在△EAF和△CEF中，分别由余弦定理和勾股定理，得
AE^2 AF^2-2AE•AF•cos∠EAF= EF^2=CE^2 CF^2，
即1 a^2 1 b^2-2√(1 a^2)• √(1 b^2)cos45°=(1-a)^2 (1-b)2，
整理，得
2(a b)= √2•√(1 a^2)• √(1 b^2)，
两边平方，整理，得'
a^2 b^2 4ab=1 a^2b^2，
再整理，得
a^2 b^2 2ab=1-2ab a^2b^2，
即(a b)^2=(1-ab)2，
因为a b>0，ab<1，
所以a b=1-ab，
设a b=s，则仿照解法二，得
s最小值为2√2-2。
又EF^2=(1-a)^2 (1-b)2
=2-2(a b) a^2 b^2，
=2-2(1-ab) a^2 b^2
=2ab a^2 b^2
=(a b)^2，
所以EF=a b，
所以EF最小值为2√2-2，
所以EF/AB最小值为2√2-2。
解法四：设正方形ABCD的边长为1，BE=a，DF=b，∠BAE=α，则
∠DAF=45°-α，tanα=a，tan(45°-α)=b，
又tan(45°-α)=
(tan45° tanα)/(1 tan45°•tanα)
=(1-a)/(1 a)，
所以(1-a)/(1 a)=b，
在Rt△CEF中，
CE=1-a，
CF=1-b=1-(1-a)/(1 a)=2a/(1 a)，
所以EF=√(CE^2 CF^2)
=√[(1-a)^2 4a^2/(1 a)^2]
=√[(1-a)^2(1 a)^2 4a^2]/(1 a)
=√(1 2a^2 a^4)/(1 a)
=√(1 a^2)^2/(1 a)
=(1 a^2)/(1 a)，
设EF=s，则s=(1 a^2)/(1 a)，
去分母，得s sa=1 a^2，
整理为关于a的一元二次方程，得
a^2-sa 1-s=0，
因为a为实数，
所以△=s^2-4(1-s)≥0，
即s^2 4s-4≥0，
解得s≥-2 2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，
所以s最小值为2√2-2，
即EF的最小值为2√2-2.
所以EF/AB的最小值为2√2-2.
