这是网上看到的广东数学竞赛题。
题目：x、y为实数，x² y²=1，求x⁴ xy y⁴的最大值。
解题分析：看到有4次方，就会想到把x² y²=1两边平方，就可以消去多项式中有4次方的项。x⁴ 2x²y² y⁴=1，x⁴ y⁴=1-2x²y²，x⁴ xy y⁴=1-2x²y² xy=1 xy(1-2xy)。也就是要求xy(1-2xy)的最大值。
在求xy(1-2xy)的最大值之前，我们学习一个基本的数学概念。
如果x y=2k，k是常数，那么，当x=y=k时，xy取得最大值k²。
我们证明一下这个结论。
x=2k-y，
xy=(2k-y)y=-y² 2ky
=-(y²-2ky k²) k²
=-(y-k)² k²。
所以，y=k时，xy取得最大值k²。
此时，x也等于k。
现在我们求xy(1-2xy)的最大值。
xy(1-2xy)=(1/2)×2xy(1-2xy)，
因为2xy (1-2xy)=1，
所以，2xy=(1-2xy)时，
2xy(1-2xy)取得最大值1/4，
xy(1-2xy)的最大值就是1/8。
x⁴ xy y⁴=1 xy(1-2xy)的最大值
=1 1/8=9/8。
最后来看老师的解答，大家可以参考一下。
