第十讲线一旋转+放缩8。
与您分享共同成长瓜得原理实战篇第十讲线旋转放缩8。如图，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且AB=4，连接BE，BF，求2BE+BF的最小值。
由题意不难发现，点E为主动点，点F为重动点，点C为联动点。把CF连一下，这个三角形CEF是一个形状固定的三角形，且这个夹角E、CF等于六十度，CE比上CF的一比二，所以从动点F可以看成是主动点。
·一、绕着联动点C顺时针旋转六十度，再放大二倍，得到了从动点F。把点B沿着F点来的路径还原回去，顺时针旋转六十度，反过来就是逆时针旋转六十度，放大为原来的两倍就缩小为原来的二分之一。
·先找点B绕着联动点C绕着连动的C，先将点B绕着C点逆时针旋转了六十度，再缩小为原来的二分之一，找到了这个点叫M点。这个时候连接BM会得到一组三角形相似，就是三角形主连。
·从相似于三角形E、CF、ECF相似于三角形M、C、B、M、C、B，证明这组三角形相似的办法是两边成比例，夹角相等。根据这组三角形相似可以得到这个角B、M、C应当等于CEF等于九十度。
·根据这组相似还能得到拉手线FB和EM与旋转中心构成了三角形相似，就是三角形CEM相似于三角形CF、BF、CF、B，这组三角形相似可以利用两边乘比例夹角相等来证明CF比上CE是二比一，BC比上CRM也是二比一。
·两份和两份组成的三角形CBF有一份与一份组成三角形是CEM、E，这两个三角形就相似，当然要加上它们的夹角，这个夹角可以用六十度加上中间这个公共角就可以正出来了。正处这组三角形相似就会得到相似比，就是CE比上CF就等于一比二。
·这个时候FB和EM就是一组对应线段，所以FB就可以得到等于二倍的EM。
再来看，要求的这个式子二倍的be加上be的最小值。看be等二倍的e m，所以这个式子就可以写成二倍的be加上二倍的e m，可以把二提出来，结果就应该是be加上e m。
再结合图形，b点是一个定点，md也是个定点，点一在线段ad上移动，到这里这个问题就被转化成将军硬币模型。
接下来只需要将顶点沿着ad对称找到对称点叫n点，把线连接mn，be加上e m，b加上g m，它的最小值就被转化为线段m1 n的长度，求mn的长度只需要构造mn所在的直角三角形，利用勾股定理求解即可。
接下来勾点m做ab边的垂线，水则不妨叫做点p。根据题意知道ab等于四，对称上就所以n等于四，m点是由点b绕着点c逆时针旋转六十度又缩小为原来一半，bc是四倍根号三，所以mc就应当等于二倍根号三，这个叫六十，所以求出bm长度应当等于六。
bm长度等于六，知道这个角是三十度，那么这个角就应该是等于三十度加上一个直角，所以求出bm的长度应当等于三。在这个三角形bmm中，bm长度就应当等于三倍根号三，所以mn的长度mn可以用固定理把它求一下，等于根号下四加四加三应当等于十一的平方加上三倍根号三括号的平方，经过化减应当等于二倍根号三十七。
这个题目让我们求的是这个式子，所以这个式子的最小值就应当等于二乘以二倍根号三十七，最终的结果应当等于四倍根号三十七。
