贾浩楠 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI
SVM？老分类算法了，轻松拿下。
然而，每一次老板让你讲解SVM，或每一次面试被问到SVM，却总是结结巴巴漏洞百出。
「这些人怎么总能精准发现我的盲点？」
简直让人怀疑自己掌握的是假SVM。
如果你有这样的问题，那这篇SVM数学原理对你会有很大帮助，一起来看看吧。
SVM 由线性分类开始
理解SVM，咱们必须先弄清楚一个概念：线性分类器。
给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。
如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的目标是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），将x的数据点分成两类，且超平面距离两边的数据的间隔最大。
这个超平面的方程可以表示为（ wT中的T代表转置）:
△2维坐标系中，超平面是一条直线
当f(x)等于0的时候，x便是位于超平面上的点，而f(x)大于0的点对应 y=1 的数据点，f(x)小于0的点对应y=-1的点。
SVM 想要的就是找到各类样本点到超平面的距离最远，也就是找到最大间隔超平面。任意超平面可以用下面这个线性方程来描述：
二维空间点（x，y）到直线Ax By C=0的距离公式是：
扩展到n维空间后，点x=（x1，x2……xn）到直线wTx b=0的距离为：
其中 :
根据支持向量的定义，支持向量到超平面的距离为d，其他点到超平面的距离大于d。
于是有：
||w||d是正数，令它为 1（之所以令它等于 1，是为了方便推导和优化，且这样做对目标函数的优化没有影响），于是：
将两个方程合并，有：
至此，就得到了最大间隔超平面的上下两个超平面。
每个支持向量到超平面的距离可以写为：
由 y(wTx b)>1>0 可以得到 y(wTx b)=|wTx b|，所以可以将支持向量到超平面距离改写为：
最大化这个距离：
这里乘上 2 倍是为了后面推导方便，对目标函数没有影响。
带入一个支持向量，可以得到：
所以得到的最优化问题是：
处理异常值
有时，对于某些点（x（i），y（i）），分类器可能会做出错误操作。
尽管在开发实际使用的SVM模型时，会设计冗余，避免过拟合，但仍然需要想办法将误差控制在一个较小的范围。
可以通过在模型中增加惩罚机制（用c表示）解决这个问题。
设SVM输出结果为E，则上图中出现的E=0则没有惩罚。
若果c非常大，则模型分类更加精准，但支持向量到超平面距离小，容易出现过拟合。
若c=1，则支持向量到超平面距离最大化，尽管会出现一些分类误差，但这是一种较好的方案。
约束凸优化问题
为了克服约束凸优化问题，采用PEGASOS算法。
重新构造一个约束独立性方程：
上式表示，如果点远离直线，则误差将为零，否则误差将为（1-t（i））。
我们需要最小化的是：
由于消除了约束，因此可以采用梯度下降来最大程度地减少损失。
梯度下降算法计算损失：
在SVM上应用梯度下降：
非线性分类
使用SVM对非线性数据进行分类，需要将数据投影到更高的维度，即通过增加低维数据的特征向量将其转换为高维数据。
增加数据特征向量需要消耗巨大的计算资源，这里采用核函数。
而这种思路最难的点，是为你自己的模型选择一个合适的核函数。
这里推荐一种自动调参方法GridSearch。
将多种核函数（线性、RBF、多项式、sigmoid等）等标号，依次调用，找到一个最合适自己模型的。
定义一个变量params：
params = [{‘kernel’:[‘linear’, ‘rbf’, ‘poly’, ‘sigmoid’], ‘c’:[0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0]}
调用：
以上详细介绍了SVM背后的数学原理，并提供了一些使用SVM模型时的问题解决办法。
其中，使用代码自动选择核函数的方法来自外国博主Daksh Trehan。
如果你对SVM的原理有更深刻的理解，或有其他实用的技巧，请留言分享给大家吧。
参考链接
https://medium.com/@dakshtrehan?source=post_page-----d46e94b23b9d----------------------
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