幽云十六州的重要性
幽云十六州，是中国古代历史上的一个地理概念。通常特指五代十国中期，由后晋皇帝石敬瑭割让给契丹的一大片领土。即太行山以东的幽州、蓟州、瀛州、莫州、涿州、檀州、顺州。这七州称作“山前七州”；以及太行山以西的新州、妫州、儒州、武州、云州、应州、寰州、朔州、蔚州。这九州称为“山后九州”，合计共十六州。便是通常意义上的幽（燕）云十六州了。
燕（幽）云十六州全图
纵观中国历史，幽云地区的地理位置十分重要。作为东亚地区农耕文明与游牧文明的天然分界线，它历来就是兵家必争之地。对于中原王朝来说，它既是一块土地肥沃的优良耕地，又是中原王朝保护华北平原农业区、抵御北方游牧民族入侵的天然屏障。更有甚者，幽云地区也是中原王朝在其强盛之时经略东北的前进基地。
而对于北方的游牧民族来说，若是一旦占据了幽云地区，不但能够得到一块农耕文明的要地，便于学习先进的文化礼仪。而且更可以作为其向南进攻，逐鹿中原的桥头堡。更可以获得难得的战略支撑点，对南方的中原王朝做到进可攻，退可守。
燕（幽）云十六州地形图
宋辽之间围绕幽云之地的大战
所以，围绕这么一块战略价值极大的区域，北宋与辽国这一对宿命里的对手，作为十一世纪左右两个中国大地上最为强大的政权。对于幽云十六州的归属问题，自北宋立国以来就争执不断，甚至不惜为此大打出手（其中瀛州、莫州，以及同属幽云地区的宁州在后周时期被周世宗收回，辽国实际控制十六州中的十四州。失去的瀛州、莫州、宁州即为“关南之地”）。这其中便有三次规模较大的战争。
第一次大战，发生于北宋太平兴国四年（公元979年）。宋太宗挟攻灭北汉之威，不顾刚刚结束大战，疲惫之师尚来不及休整的现实。执意发动收复幽云地区的第一次北伐之战。结果大军顿于坚城之下，反应过来的辽国立刻出兵。高粱河一战，宋军大败，折损过万，兵器辎重损失无数。宋太宗赵光义本人也受了箭伤，乘坐驴车逃跑，差一点做了辽国大军的俘虏。
高梁河之战示意图
遭受大败的宋太宗赵光义自然不甘心失败。于是，雍熙三年（公元986年）宋太宗赵光义乘辽国新君初立，主少国疑的时机，派遣三路大军北伐。对于这第二次针对幽云地区的北伐之战，赵光义本人信心满满。而起初的战役发展也是十分的顺利。西路军与中路军进展顺利，先后攻取了山后数州之地。然而，却因为东路军的冒进而导致最重要的幽州一线溃败，进而发展成整个第二次北伐战役的全面失败。
至此，北宋与辽国围绕幽云十六州的战争，北宋一方结束了战略进攻的状态。手握幽云地区的辽国开始掌握战争的主动权。而辽国鉴于之前同北宋的两次战争，皆是在己方毫无准备，或者准备不足的情形下艰难取胜的。于是，辽国决定在合适的时机发兵自幽州地区南下，对北宋一方展开战略进攻。
于是，在北宋景德元年（公元1004年）九月，国内形势得到稳定的辽国，在萧太后以及辽圣宗耶律隆绪的统领下，以收复瓦桥关以南失地为名，二十万大军南下攻宋，势如破竹，大军一直打到了黄河北岸的军事重镇澶州。此地作为北宋的最后一道防线，一旦失守，汴梁城就会直接暴露在辽国骑兵的面前。宋真宗赵恒御驾亲征，士气大振的宋军打退了辽军的数次进攻，并射*了辽军主将萧挞凛。终于，萧太后与辽圣宗觉得再僵持下去只怕大事不妙。于是双方签订合约，北宋与辽国约为兄弟之国，各守其土。史称“澶渊之盟”。
澶渊之战示意图
而这次战争作为辽军第一次对北宋一方展开的大规模战略进攻，最终也以进攻方的“失利”而告终。到此为止，宋辽双方已经清楚的知道了对方的实力。并且确信双方同自己实力相当，短时间内谁也不可能吃掉对方。若是不顾一切的在军事上进行长期对抗，最后只能落得个两败俱伤的下场。
宋辽双方博弈模型探讨
于是，北宋与辽国对于幽云地区在军事上的全面对抗结束。开始了以政治上的对抗为主的博弈。从这里开始，作者将尝试以博弈论中的一些方法，对澶渊之盟前的三次大战进行分析。为大家从另一个角度去观察北宋与辽国这一对“兄弟之国”以幽云地区为核心博弈的历程。
为了方便处理，作者在这里对问题进行简化。即假设几个简单而又不变的条件。
宋辽双方博弈
第一：战争的目的只在于获得经济利益，忽略道义和政治上的考量。
第二：北宋与辽国双方都互不清楚对方的真正实力，且均以为对方弱于自己。这是纯理智下双方愿意发动战争的必须条件。
第三：北宋与辽国真实实力相当，将北宋与辽国两方的实力以经济指数和军事指数进行初始设定。北宋的经济指数为2000，军事指数为200。辽国（幽云地区加成在内）的经济指数为1200，军事指数为250（经济指数与军事指数的互换规则为16。即：16单位经济指数=1单位军事指数）。
第四：幽云十六州被辽国占据，能为辽国带来的经济指数的增长为300，军事指数增长为50。一旦被北宋占据，能为北宋带来的经济指数增长同样为300，军事指数增长为50。
第五：北宋与辽国一旦爆发战争，则每次各自损失的经济指数为300，军事指数为50。主动发起战争的进攻一方获胜则有额外的增长（经济指数加600，军事指数加100），被动应战获胜无加成。被动一方若选择放弃抵抗，则不损失指数（若辽国放弃幽云地区，则只损失该地区的加成）。
第六：除了战争造成的损失和加成，经济指数和军事指数不发生变化。
第七：一旦任意一项指数归零，博弈结束，双方同归于尽。
宋辽对峙图
以上面的七条假设，我们开始进行推演：
首先，辽国在双方进行战争前便占据了幽云十六州，北宋一方做出吞并幽云地区的决断。而且由于宋辽双方并不清楚对方的实力。北宋为了得到幽云地区，主动向对方发动战争。这里我们模拟的是宋太宗赵光义灭亡北汉后仓促进行的第一次北伐。结果是失败的。按照规则，第一回合，双方经济指数各损失300，军事指数各损失50。辽国虽是获胜的一方，但却是被动的应战者，无特殊加成。需要注意的是，实际上不存在放弃抵抗的情况。以下几个回合同样如此，双方均选择以战对战。
于是，第一回合博弈的结果就是：北宋的经济指数变为1700，军事指数变为变为150。而辽国的经济指数变为900，军事指数变为200。
第二回合，不甘心失败的北宋再度集结大军，经过数年的准备，对辽国发动雍熙北伐，结果依旧大败。自此北宋一方清楚了辽国的实力同自己相当。依照上面的规则，这一回合的博弈结果为：北宋的经济指数变为1400，军事指数变为变为100。而辽国的经济指数变为600，军事指数变为150。
雍熙北伐示意图
第三回合，辽国充分准备，反守为攻，在萧太后与辽圣宗的带领下出幽州南下大举攻宋，结果双方僵持不下。辽国明白了北宋的实力与自己相当，谁也没法在短时间吃掉对方。按照规则，这一回合的博弈结果也不难推出：北宋的经济指数变为1100，军事指数变为变为50。而辽国的经济指数变为300，军事指数变为100。
到此为止，现实中宋辽双方围绕幽云十六州的战争博弈结束了。再进行下去，便是现实中并不存在的第四回合博弈。结果不难得出：北宋的经济指数变为800，军事指数变为变为0。而辽国的经济指数变为0，军事指数变为50。双方同归于尽，博弈结束。
理想情况下的博弈结果
以上只是现实中按照设定发生的情形。然而，在战争之初，为了幽云十六州的归属而主动发起战争的一方，肯定是想着自己一方能获胜才去进攻对方的。那么，按照攻击发动一方的脑补，我们再按照规则推演一番，不难得出下面的结果。
一、北宋主动进攻辽国，企图夺取幽云地区
第一种情况，北宋为进攻方发动对辽国的战争，辽国选择抵抗，初始设定不变。结果不难推出：北宋获胜，成功占据幽云十六州。其经济指数变为2600，军事指数变为变为300。而辽国的经济指数变为600，军事指数变为150。
第二种情况，北宋为进攻方发动对辽国的战争，辽国选择放弃抵抗，初始设定不变。结果是：北宋经济指数变为2900，军事指数变为350。辽国因为主动撤出幽云地区，经济指数变为900，军事指数变为200。
以上两种情况，就是北宋顺利占据幽云十六州后期望的实力增长。
二、辽国主动南下攻宋，以攻为守
第一种情况，早已将幽云地区收入囊中的辽国一方，一旦主动进攻，自然也是希望获胜。于是，依照第一种情况，辽国一方期望的博弈的结果为：辽国获胜，收复瓦桥关等“关南失地”（实际上只要条件允许，辽国一方不介意直捣开封，灭亡北宋）。其经济指数变为1500，军事指数变为变为300。而北宋的经济指数变为1700，军事指数变为150。
第二种情况，辽国南下，一路并未遇到丝毫抵抗，北宋一方主动放弃黄河以北之地，选择南逃渡江或者西迁入蜀，南宋提前上演。则辽国经济指数变为1800，军事指数变为350。北宋一方两项指数无损失，经济指数和军事指数分别为2000与200。
为了方便查看，作者在这里将宋辽两国围绕幽云地区的博弈结果以表格列出，初始设定不变（北宋的经济指数为2000，军事指数为200。辽国（幽云地区加成在内）的经济指数为1200，军事指数为250）。
宋辽双方选择以战对战的博弈结果一览图
宋辽双方应战一方选择放弃抵抗的博弈结果一览图
需要注意的是，原先设定的七条博弈规则，对于幽云地区双方直接博弈的模拟程度较高。而对辽国出幽云南下攻击北宋的模拟大方向没问题，但细节上存在瑕疵（比如作者认为在辽国主动南下进攻，北宋选择抵抗的情况下，北宋无论胜利或者失败，经济军事指数换算的结果相同。而北宋选择放弃抵抗，经济军事指数不受损失。这两种结果都存疑）。再加上作者的假设完全是简化模型。所以这里的结果只能描述大致方向，而不做细节深究。
另外，宋辽双方同时选择和平，则各项指数均为初始值，双方保持均势。即：北宋的经济指数为2000，军事指数为200。辽国（幽云地区加成在内）的经济指数为1200，军事指数为250。这里就不做讨论了。
由此可见，幽云地区对于辽国的重要地位。一旦有失，宋辽双方的实力对比便会发生天翻地覆的变化，辽国几乎万劫不复。在这种局势下辽国除了守住幽云地区，没有任何出路。而面对辽国从幽云地区长驱直入，北宋除了不惜一切代价打赢外，也是别无选择。一旦让出中原地区南迁渡江或者西逃入蜀，则南宋便会提前上演，甚至直接亡国。
宋辽双方的最终平衡状态
其实单就模型来看，宋辽双方围绕幽云地区博弈的最佳策略都是主动发起进攻。现实情况也是如此，宋辽双方均主动向对方发起过进攻。正如宋辽双方却是按照推演一开始那样，一次又一次的发动战争。先是北宋接连发动两次旨在收复幽云十六州的北伐之战，结果全部功败垂成。紧接着不久，辽国便以攻为守，直接南下攻击北宋。然而，却因为双方实力相当，最终谁也无法战胜谁。正如推演之前我所做的假设一样，战争的最终目的还是在于获得经济利益。一旦损失过大，战争双方必然会耗尽气力而元气大伤。如此一来，便失掉了最初发动战争的目的了。
宋辽大战
显然，在双方均尝试充分准备的前提下发动战争之后，终于意识到对方的实力与自己在伯仲之间。于是，双方默契的选择放弃武力对抗。虽然幽云十六州在经济利益与军事斗争方面的作用太过巨大。但是权衡之下，北宋还是实质上放弃了对于幽云地区的执念，选择同辽国和平相处。这或许也是第四回合博弈在现实中并未发生的根本原因吧。
不过，宋辽双方通过几次大规模战争的“交流”，在真实了解了对方的实力以外，也算是摸清了对方的底牌。这一点，相对于北宋这边，辽国显然做的更好一些。什么意思呢？就是说辽国清楚的知道，北宋一方在澶渊之盟后，虽然在政治上依然没有放弃收复幽云之地，但实际上已经彻底放弃了动用武力的念头。关键的是北宋似乎却并不十分清楚辽国一方的底线。于是，辽国便常常以关南之地为念，时不时的向北宋敲竹杠。最著名明的一次莫过于宋仁宗一朝时的“庆历（重熙）增币”事件。说的难听一点确实是辽国有意敲诈北宋，实质上也是一次成功的政治外交博弈范例。
宋辽和议
