给他应有的位置 | 秦九韶及其数学成就（秦之纪元）

作者 | 刘复生

来源 | 和乐数学

编者按：最近广东的中考题涉及了海伦-秦九韶公式。我们这里分享一篇介绍秦九韶的数学成就的文章。

宋代是我国数学高度发展的时代，出生于四川的秦九韶是其中一位杰出代表。他的代表作《数学九章》（后一般称作《数书九章》）体现了世界同时代数学的最高成就。但对这样一个走在时代前列的科学家，《宋史》里却没有为他立传，清《四库提要》说是“未详实为何许人也”。上个世纪以来，秦九韶的数学成就被重新提起，引起了世界科学史界的瞩目。在科技兴国的今天，给予这位数学先哲应有的位置更有其积极意义。

一、秦九韶其人

有关秦九韶的家世我们所知甚少，亦颇有抵牾处。南宋末周密记：“秦九韶，……字道古，秦凤间人”。而秦九韶在《数学九章自序》后落款题“鲁郡秦九韶”。虽然如此，然勾稽史料，可得其生平事迹之大概。

在著名的涪陵“石鱼”上，有宝庆二年（1226年）正月十二日题记的文字记载说：“郡守李禹公玉新、潼川守秦季槱宏父、郡纠曹掾何昌宗、季文、季槱之子九韶道古、禹之子泽民志可，同来游石鱼。”这是秦九韶随其父至涪州（今四川涪陵）与太守同游石鱼的记载。据《南宋馆阁录》载：秦九韶父季槱字宏父，“普州安岳人，绍熙四年（1193年）陈亮榜同进士出身，治《春秋》，十七年（1224年）九月除（秘书少监），宝庆元年（1225年）六月除直显谟阁，知潼川府”。潼川府治在今四川三台。淳祐七年鲁郡已在蒙古军治下，秦九韶所自述者，当为其祖籍所在。宋秦凤路南宋建炎时已大部落入金人之手，周密所记的“秦凤间人”，引起了若干讨论，但均属推测之词，尚无确切史料予以证实。

周密画像

周密又说，秦九韶“年十八在乡里为义兵首，豪宕不羁，尝随其父守郡”。据《宋史·宁宗纪四》，嘉定十二年（1219年）三月乙亥，“兴元军士权兴等作乱，犯巴州，守臣秦季槱弃城去。”巴州为今四川巴中。闰三月，又有“兴元军士张福、莫简等作乱”，五月，张福率军入普州，屯普州之茗山。七月，被宋王朝平定。此次兵变，其乡里普州（今四川安岳）为其所乱。“义兵”是当地的地方武装，秦九韶为“义兵首”时，或离兴元兵变时间不远，如此，秦九韶当生于嘉泰二年（1202年）左右。秦九韶曾言“早岁侍亲中都”，应在其父任秘书少监之时，秦九韶时约22岁。

秦九韶后来任过某县县尉，李刘（字公甫，号梅亭）撰有《回秦县尉九韶谢差校正启》。李刘为江西人，嘉定七年（1214年）进士，于绍定六年（1233年）前后官成都漕，但该启写作时间难予详考。李刘启中有谓：“善继人志，当为黄素之校仇；肯从吾游，小试丹铅之点勘。”宋秘阁有黄、白本书，秦九韶父曾官秘监，正所谓“黄素校仇”之谓。又周密说秦氏曾向李刘学过“骈骊诗词”，亦启谓“肯从吾游”之意。

《数学九章自序》中说：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀。”题为淳佑七年（1247年）九月。端平二年（1235年）秋，蒙古军攻入四川；次年秋，蒙古军再度攻入四川，十月攻入成都。一二年间，四川大部分州县为其残破。所谓“狄患”，即指其在家乡时所遭遇到的蒙古军对四川的侵掠。秦九韶时约34岁。

《数学九章》书影

他离开四川后，先后任过蕲州（今湖北蕲春）通判、和州（今安徽和县）守臣，即刘克庄所说他“卒蕲妄作，几激军变。守和贩卤，抑卖于民”，然不得具体。据《景定建康志》，秦九韶于淳佑四年（1244年）八月以通直郎为建康府（今江苏南京）通判，十一月为母守孝离职，回湖州（今属浙江）居住。宝祐二年（1254年）他一度到建康出任沿江制置司参议。

宝祐六年（1258年）正月初，秦九韶至长沙，持淮阃书求职于时任湖南安抚使兼广南制置使的李曾伯处。淮阃指贾似道，时任两淮制置大使、淮东兼淮西安抚使。不久秦氏被任权守琼州（今属海南），至郡数月而罢归。后来又出任过短暂的江东议幕、农丞。周密记云：“时吴履斋在鄞，亟往投之。吴时将入相，使之先行曰：当思所处。秦复追随之。吴旋得谪，贾当国，徐摭奏事，窜之梅州。在梅治政不辍，竟殂于梅。”吴指吴潜（号履斋），其罢相在景定元年（1260年）七月。秦死于梅州（今广东梅县）任所，其赴梅州任及去世均不得具体时日，一般定在景定二年，如此，终年约59岁。

周密说，秦九韶“性极机巧，星象音律、算术以至营造等事无不精究，迩尝从李梅亭学骈俪诗词，游戏、球、马、弓剑莫不能知”。陈振孙说：“秦博学多能，尤邃历法，凡近世诸历，皆传于秦。”并在题纪仁宗朝《崇天历》和徽宗朝《纪元历》时说：“此二历近得之蜀人秦九韶道古”。可见他是一位博学的科技人才，尤以精通数学、历法著称，且是“近世诸历”的保存者，其功已匪浅矣！

据宋人记载，秦九韶“性喜奢好大，嗜进谋身”（周密语），甚至有“暴如虎狼、毒如蛇蝎”（刘克庄语）的指责。清人焦循为之辨云：“秦九韶为周密所丑诋，至于不堪，而其书亦晦而复显，密以填词小说之才，实学非其所知。即所称与吴履斋交稔，为贾相窜于梅州，力政不辍，则秦之为人，亦瑰奇有用之才也。”陆心源也颇同此意。吴潜素负佳望，而贾氏则有“奸相”之称，秦氏又“力政不辍”，焦循之说似有其由。但焦、陆二氏无确切材料证明秦氏的人品，而贾氏盛时，秦氏与之实为同党。近人余嘉锡先生对此辨析甚详，认为秦九韶“不自顾籍，贪横无状，予人以攻击之端，虽爱之者无以为之解免”。

二、秦九韶数学渊源、

《数书九章》的写作及流传

秦九韶数学知识的积累，渊源有二。一为“太史”，一为“隐君子”。亦即他在《数学九章自序》中所说的：“早岁侍亲中都，因得访习于太史。又尝从隐君子受数学。”

太史是专掌天文历法的朝廷官员，实际上就是当时官方认定的一些天文学家、数学家，秦九韶当在其父任秘书少监时受益于他们。前言陈振孙所得二历当亦为秦九韶“侍亲中都”时所获。秦九韶自序跟随“隐君子”学习数学时，正是前面提到的“际时狄患”之时，“尝险罹忧，荏苒十祀”，看到时事的变化而“心槁气落，信知夫物莫不有数也”。于是“肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉”。

有人认为，“隐君子”是特指南宋“道教学者”陈元靓，我们认为是不能成立的。

陈元靓铜像

因为

其一：从现存史料来看，陈元靓并不是一位“数学”家。他留存至今的著作《岁时广记》乃为一有关“节序”之作，其友人朱鉴（朱熹之孙）说是“搜猎经传，以至野史异书，凡有涉于节序者，萃为巨帙，殆靡一遗。仰以稽诸天时，俯以验之人事”；另一友刘纯说是“采九流之芳润，撷百氏之英华，辅以山海经海图神录怪牒，穷力积稔成一书”。朱、刘二人时均为朝廷官员。《四库提要》归是书于“时令类”，云：“书中摭月令、孝经纬、三统历诸书为纲，而以杂书所记关于节序者。……大抵为启札应用而设。”至于他另外两部今佚著作《博闻三录》和《事林广记》，从书名及留存于《岁时广记》的若干内容来说，也不是什么“数学”之作。

其二；陈元靓《岁时广记》自题为“广寒仙裔”，其祖上“广寒先生”是福建崇人，陈抟弟子。广寒子逊为绍圣四年（1097年）进士，而元靓为“逊之裔”，理宗（1225-1264年在位）时人。“隐君子”本为泛指之词，不仕的文人均可冠之。刘纯谓为：“龟峰之麓、梅溪之湾，有隐君子广寒之孙。”是徜徉于福建山水之间的隐者，文意应已明白。而且，除他祖上为道教中人外，他本人似与“道教”没有什么瓜葛，看不出是道家学者。

《岁时广记》书影

其三：秦氏“侍亲中都”的时间很短，其父在京师任职不足十个月，旋有“石鱼”之游，他随父回川是可以肯定的。没有材料显示秦氏与陈元靓有过或可能有过某种接触。

所以我们认为，其从隐者受数学时，必然是他在家乡遭受“狄患”之时，所谓“际时狄患”当此之谓。在古代中国，“数”学往往是与易学联在一起的，上追天文，下察地理，中观人文，一批“数学家”实即易学家们认定，宇宙万物包括人类社会的发展是“莫不有数”的，也就是说受到一种神秘且既定的“数”的约定。到北宋，邵雍集其大成，古代的“数学”有了很大的发展。在秦九韶生长之地，早有所谓“易学在蜀”的说法。民间的一批易学家，冷静地观察着自然与人世的沧桑，苦心地寻觅着其中变化的奥秘。这是一批不愿或没有机会出仕的“隐者”，其间不乏真才实学之士，正如宋时人语：“蜀多方士，得逞于道术。”秦九韶有此机遇，加上自己“肆意其间”的探索，终于取得了超迈前人的成就。正是四川这块有着丰润文化气息的土壤，孕育出了这位数学奇才。

对于数学，秦九韶认为：“周教六艺，数实成之。……要其归，数与道非二本也。”与其说此“道”为“道教”之道，不如说是儒家“六艺”之道更为准确。《易》乃为儒、道二家所共奉，故而不必强分秦氏是儒抑道。

秦九韶自序题为淳佑七年（1247年）九月，《数书九章》的写作应即在此上溯十年间事。周密记说：“或以历学荐于朝，得对，有奏稿及所述《数学大略》。”此前淳祐四年，朝廷接受了韩祥之请，召山林布衣造历。荐其人朝，当在此后不久。《数学大略》即当为《数书九章》。

《直斋书录解题》书影

如前所示，此部数学杰作在《直斋书录解题》中已见记录，归于历象类。书录作者陈振孙与秦九韶同时，对其才能，已有美辞。但宋世尚无刊本，故流传不广。明《永乐大典》收录此书，题为《数学九章》，共9卷。清《四库全书》本《数学九章》即从此转录并作了校订，其《提要》云：“今即《永乐大典》所载，于其误者正之，疏者辨之。颠倒者次第之。”这使该书后来得到了广泛的流传。

后来有两个抄本，一是李锐得四库本又略加校注，一是明末常熟赵琦美脉望馆所藏者。赵氏于万历四十五年（1616年）正月跋是书，称作《数书九章》，并云为18卷，“会稽王应遴堇父借阁钞本而录焉，予转假录之。原无目录，予为增入”。阁本亦即四库本，说明赵氏本已析四库本卷数。此本到清嘉庆中为张敦仁所有，其时研治宋元数学之风极盛，学者们对秦九韶的数学著作表示了极大兴趣。顾广圻代夏文焘（字方米）作《数书九章序》说，翰林院编修江都秦恩复（敦夫太史）“校其家道古《数书》，开雕，属文焘为之覆算”，认为其间有不少乖误，“则当日成书后未经亲自覆勘耳”，但后来未见其刻本传世。

旋有宋景昌撰《数书九章札记》四章，道光二十二年（1842年）上海郁松年泰峰氏为之撰序，详细地叙述了《数书九章》在当时的流传情况云：“余……思得宋元人秘籍，毛君生甫为予言秦道古《数书九章》思精博学。……其书转相钞录，伪脱滋多。元和沈广文曾得明人赵琦美钞本于阳城张太守家，订伪补脱，历有年所，以老病未卒业。其弟子江阴宋君景昌，能传其学，余因属毛君索其原本。会广文病甚不可得，得其副于武进李太史家。毛君又出其家藏元和李茂才所样四库馆本，并属宋君为之雠校。嗣广文没，宋君又于其家搜得秦书刊误残稿数卷。”于是乃以赵本为主，为之参校刻印，称为宜稼堂丛书本。民国《丛书集成》所收该书即为此本。

三、《数书九章》的内容及其贡献

在《数学九章自序》中，秦九韶说：“所谓通神明，顺性命，固肤未于见。若其小者，窃尝设为问答，以拟于用。积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之。”所分9类，四库馆臣对其内容作了“提要”。

“一日大衍，以奇零求总数为九类之纲。”是一次同余式组问题。

“二日天时，以步气朔唇影及五星伏见。”有关天文、历法和雨、雪量等问题。

“三日田域，以推方圆幂积。”有关田地面积问题。

“四日测望，以推高深广远。”有关勾股、重差和其他测量问题。

“五日赋役，以均租税力役。”有关田赋、户税问题。

“六日钱谷，以权轻重出入。”有关征购米粮和仓库问题。

“七日营建，以度土功。”有关建筑施工问题。

“八日军旅，以定行阵。”有关兵营布置和军需供应问题。

“九日市易，以治交易。”有关商品交易和利息计算问题。

由上可见，《数书九章》涉及的范围是相当广泛的。大多数问题都与实际需要联系起来，可以说是实际运用的需要推动了他的研究。所谓“通神明、顺性命”，是一些大而虚玄的问题，秦氏本书的宗旨不在于此，他明说是“以拟于用”的。如四库馆臣所言：“古法设其术，九韶则别其用耳。”秦九韶之“九章”虽然与汉代《九章算术》门目不同，但继承了后者的某些风格则是明显的。全书9类共81题，每类用9个例题来阐明各种算法。每题既有说明解题的方法“术”，又有说明演算步骤的“草”。皆以问答的形式，或作图以说明之。

《数学九章》书影

秦九韶在《数书九章》中提出了许多有趣且实用性很强的问题，例如“推计土功”、“余米推数”、“天池测雨”、“计地容民”、“望山高远”、“遥度圆城”、“计造石坝”、“计立方营”等等，虽然不一定每个问题都予以了最简捷的解答，但他的探索无疑是十分可贵的。根据现有资料，秦九韶的著作可能还是我国最早使用“零”这个特殊数字者，在以后的数学著作中“零”则经常出现了。对于秦九韶的成就，数学史家作了许多深人的探讨，总的来说，他的贡献集中体现在如下两个问题中。

一是《数书九章》第一部分讨论的不定分析，秦九韶称之为“大衍求一”术。这是一个一次同余式问题，亦即现代数论中著名的“剩余定理”问题。这个问题的最早提出是在公元4世纪我国的数学著作《孙子算经》中，其中有“物不知数”的题说：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”它的解法用到求三个一次同余式的共同解，即：三三数之余数2乘70，五五数之余数3乘21，七七数之余数2乘15，三数相加，减去3、 5、7的最小公倍数105的倍数，即得所求数。列成算式则为：

N=70×2＋21×3＋15×2－2×105

这一问题流入民间后，有诸如“孙子算”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等名称及解题歌诀。这本是个求不定方程组问题，不过其数据比较简单罢了。剩余定理是把一般的一次同余问题归结为满足条件的一组数的选定，秦氏称这些数为“乘率”。他明确而系统地叙述了它的一般计算步骤，以满足上式计算最终都出现余数1的条件，也就是他的所谓“大衍求一术”。“大衍”乃借用《易经·系辞上》所谓可以推演变化于无穷的“大衍之数五十”语，简言就是“求一术”。

在西方，500多年后才出现了欧洲两位大数学家欧拉（Buler，1707—1783年）和高斯（Gauss， 1774—1855年）对此问题的有效研究，并重新获得了与“求一术”相同的定理。但一直到1852年才有英国传教士向欧洲人介绍了中国古代“物不知数”题和秦九韶的解法，引起了欧洲学者的惊讶和重视，难怪有学者称发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”了。至今西方数学史著作中，这一解法被称为“中国剩余定理”，显示了秦九韶在世界数学史上的崇高地位。

在中国古代，此一问题的研究明显受到天文、历法需要的推动。我国古代历算家把从历元（历法的起算时间，又称为上元）到编历年所累积的时间叫“上元积年”。而上元积年的推算正需要求解一组一次同余式。秦九韶曾受“太史”之教，自然为他的创造性工作打下了深厚的基础。其有“古历会积”等问题，正是这方面知识的实际运用。

二是求高次方程的解法。解方程式的步骤在中国古代被称为“开方术”，大约生活于北宋的两位数学家先此作了研究。贾宪展示了“开方作法本源图”，在世界上首次解开了开高次幂之结，这是一种可随乘随加的开平方、开立方新法，称为“增乘方法”。其后刘益“引用带从开方正负损益之法”，突破了未知系数只能为正数的限制。贾、刘二人的生平虽然今人所知甚少，但他们的创造均比欧人早了若干世纪。

世界上高于三次的数字方程最早是秦九韶的著作中提出的，他成功地处理了如下方程：

而欧洲最先能解四次方程是意大利人费拉里（Ferrari，1522—1565年）完成的。秦九韶更把“增乘开方法”推广成为任意高次方程的数值解法，例如方程：

其中系数既可为正，也可为负，并且有整数也有小数。这样，也就把增乘开方的随乘随加的原则贯彻到底了。秦九韶提出的例题有二次方程、三次方程、四次方程共25道，十次方程1道。他把我国的高次方程数值解法推进到一个新阶段，而现代数学计算中仍然通行他的这种简便程序。这种极富创造性的贡献，在现代数学中，被称为鲁斐尼一霍纳方法，它是意大利人鲁斐尼（Ruffimi，1765—1822年）于1804年、英国人霍纳（Homer，1786—1837年）于1819年提出的，比秦九韶的发现晚了500多年。