随机空间的叠加之独立相关正交-卷积小白的随机世界

B 不相关，教科书中说两个随机变量不相关，意思是没有线性关系，但可能是其他关系。这个其他的关系可以理解成，比如指数，对数关系；或者是任何可能性的关系；也可能是无数多个关系叠加在一起关系。这个关系越复杂说明两个随机变量越不相关。这个关系越简单，（比如就是线性关系，或者线性和指数关系的叠加等等）说明两个随机变量相关性越大。数学上通过协方差系数加以表示，系数的大小表示线性相关关系的强弱，协方差系数为0便是两个随机变量不相关。

C 当一个两个随机变量的协方差为0，且只要其中一个随机变量的期望为0时，说明两个随机变量是正交的。比如，我们五官感知的时空，时间和空间是完全不相关的，是正交的。

D ０就是无，这个"无"意义重大。因为可以"无中生有"，"无"之所以能生"有"，是因为"无"本质上没有生"有"，其实还是"无"，因为０和任何"有"的乘积还是０。其实，一直是０，没有变过。由无生出的空间，是正交的空间。

E 独立的含义是，两个随机变量放在一起完全没有意义。比如，老王生男还是女孩，和我随手一扔色子的点数之间就是独立。因为考虑着两个随机空间完全没有意义。当然，他们肯定也是不相关的。

F 独立是相对的，相关是绝对的。任何两个事件都有联系，如果说是独立的，那么也仅仅是有前提的独立，是在一定范围内的独立。假如宇宙的本源真有一个奇点话。那么如果把样本空间拉大，把时空范围拉大，任何两个随机变量都不是独立的，都是相关的，母体都来源于同一个奇点。

现在和小白一起来臆想线性关系。首先来铺垫下话题推进的场景，真实的世界是随机空间的叠加，而我们感知的时空世界是我们对随机空间采样的结果，包括时空这个基本的线性维度也是我们人体这个随机系统和随机空间交互采样卷积而成。这个小白在前期的文章中描绘过具体的过程。人基于时空的在进行采样，形成人在时空下的一切认知，这种认知的本质是关系的认知，认知关系的前提是分别，即先分别再建立联系。佛道中有"分别心"一说，即世俗人的本质即分别心，一旦消除分别心，便六识无用，和空融为一体。再来谈这个"分别"，一次分别小白理解等同于一次采样。比如，小白来到一家专门制造桌子的工厂，想认知这个工厂制造桌子的信息。小白踏入工厂那一步进行了第一次"分别"，这个分别把桌子和其他的一起分开，即小白接下来一段时间来采集桌子的样本，其他一切事情（即对其它随机空间的采集放到这次采集之后，细想，第一周采集桌子，第二周采集工厂制造的汽车，这个第一周，第二周中的"1"和"2"就是一种线性变化）。好了，现在进入到桌子的随机世界。小白经过一周的时间得到一个桌子的样本集合，样本1：（红色，方形，1米高，桃木制，3处花纹雕刻，古典风）；样本2：（粉红，方形圆角，1.2米高，杨木制，5处花纹雕刻，古典现代结合）；样本3：（大红，圆形，1.4米高，槐木制，1处花纹雕刻，现代风）；样本4：xxx；样本5：xxx；等等小白得到了很多的样本。其实，这里可以看出桌子的随机空间是一个叠加的随机空间。假如X表颜色，Y表形状，Z表高度，M表材质，N表雕花数，O表风格，那么，其实这里X就是桌子的第"1"个维度或属性；Y是第"2"个，…,O是第"6"个，这里的1，2，3，4，5，6就是就是第二次"分别"，分别就是线性变化（臆想下，桌子还有重量，生产日期，承重能力等等，这样你可以用一条线，1，2，3，4等无限表达下去，每一次变化，就是一个新的桌子的维度）。下一步就是第三次"分别"，对X进行分别，红橙黄绿青蓝紫，还有大红，淡红等等，无限的分别下去，线性变化下去。这也是一条线，无限的延伸下去。至于，形状，高度，材质等和颜色一样，都可以通过一条线进行"分别"。到这里小白有了三种"线"，一是小白第1周研究桌子，第2周研究汽车，第3周，第4周,… …等等，直到小白生命尽头的"时间线"；二是小白第1周采样的桌子的颜色，形状，高度，材质等等无限变化下去的"桌子属性线"；三是，每一个桌子属性进行分别，比如颜色，红橙黄绿等等，无限分别下去的"属性值线"。这里小白总结一下，人们认知采样世界的基本方法就是"分别心"，分别心形成了变化，形成了线，叫做"线性变化"。

我们现在选出小白的第一个样本，样本1：（红色，方形，1米高，桃木制，3处花纹雕刻，古典风）。我们发现这个样本是从６条线上选取的一个点，形成了一个"６维"的点，也可表示成（１，４，１，２，３，０）。这里假设"红色"在颜色线上值是１，"方形"在形状线上的值是４，等以此类推。这里我们再看，这里"１""４"之间的差异代表什么？不难看出，"１"和"４"分别是颜色线和形状线上的一个点，那么，"１"和"４"之间不同本质上体现了颜色线和形状线之间在一个样本点上的分别，也就是关系，那我们就叫他"线性关系"了。那么，我们现在有很多个样本点，那么就有很多对颜色线和形状线之间的关系，假如我们采样到了如下组合（２，８），（３，１１），（３，１２），（２，９），（２，７）等，我们不难发现，这些样本点所体现的"形状线"样本点值基本上是"颜色线"的４倍，也就是"形状＝４＊颜色"，也就这个关系很稳定，那么我们就称它为线性相关了。如果我们采样到（１，２），（３，３），（１，１０），（９，３）等等，每个样本点所体现的"形状线"和"颜色线"的关系很不稳定，没有规律，我们就称形状线和颜色先不相关了。其实，我们不难想像，我们可以从这些"值"上着手，建立一个数学的模型，来表达这种线性关系。这个模型就是概率与数理统计教科书中的协方差系数"E[（X-E（X））（Y-E（Y））]/X方差*Y方差"。

我们回顾下，每一个样本点（随机空间的一次抽样，一次坍缩）就体现不同维度的线之间关系的一个最小点，这个点是线性关系。那么随着样本点的增多，得到很多个线性关系，假如这些线性关系的总体比较稳定，就是线性相关。假如，线性关系差异很大，就是不相关，可能是指数关系，可能是其他关系，可能是完全没有关系。总之，相关，或者不相关 都是由样本点中携带的线性关系最小点叠加而成。这些线性关系最小点的总和所呈现出来的关系特征就是桌子这个叠加的随机空间中两条维度线之间关系特征。即相关，或是不相关。

小白臆想，其实在时空的世界去认知随机世界，只有一种关系，就是线性关系（可以想象时空就是4条线），而其他的一些关系，都是有由线性关系叠加而成。也就是牛顿的经典物理世界，矢量无限延伸，线性变化，线性关联并相关作用的四维时空世界。

上一篇小白得出了一个结论，线性关系是最基本的关系，其他的关系都是由线性关系叠加而成。那么，顺着个思路，概率论与数理统计教科书中的不相关，正交，独立这几种关系也是线性关系叠加而成了。如何对此理解呢？

我们这样想，样本是一个点，是一个处于多维度空间的一个点，多个维度分别对应着背后多个不同的随机空间。一个样本点的所体现的维度线之间的线性关系对应着背后不同随机空间叠加关系的一次坍缩，线性的坍缩（这个坍缩的线性本质在于时空的线性）。那么，多个样本线性关系点的集合体现着随机空间整体的叠加关系。我们可以抽象出一个关系的随机空间，在这个关系的随机空间中，如果熵越小，说明越稳定，即线性相关越强。如果熵很大，说明关系很不稳定，及相关性很小，直到不相关。

那么什么是正交呢？正交也是数学上的概念。首先，正交是不相关的。但还有一个条件就是其中一个维度的期望为"０"。就是说如果Ｘ和Ｙ不相关，且Ｅ（Ｘ）或者Ｅ（Ｙ）为０。那么，Ｘ和Ｙ就是正交的。单看上面这些生硬的数学语言，小白还是不理解正交。那么再想，Ｅ（Ｘ）＝０意味着Ｘ这条线是对称的，对称的点是０点。０是什么？小白胡乱臆想下，０就是无，这个"无"意义重大，因为可以无中生有，"无"之所以能生"有"，是因为 "无"本质上没有生"有"，其实还是"无"。只是０和任何"有"的乘积还是０，其实，一直是０，没有变过，所谓佛道有言"万法皆空"。因此，两个随机空间正交，意味着两个空间的"积"为０。也即是两个空间可以当作一个"０"，这个０自成维度，自成空间。在计算上，可以无限延展为多维的空间，所谓"无中生有"。同时，通过"内积"，"有"可回归到"无"，完全和其他空间没有任何的关系和关联。因此，形成一种正交的关系，那么，基于这种正交的关系的计算和演绎是非常方便的。

臆想到这里，小白忍不住臆想下道家和佛家思想。道家思想，"无中生有，一生二，二生三，三生万物" 。小白理解，这里的无就是"０"，有就是"１"，道家说这个"１"指的是"气"，那么，小白理解这个"１"指的是一个维度，一个随机的空间；然后生二，道家说二是阴阳，小白理解，这里的二指的是对称，阴就是阳，阳就是阴，对称互相转换，期望为０；然后生三，道家说这个"三"意为多。小白理解，这个三意为在对称的两个方向的线性的无限多的变化和延伸。线性的变化和延伸，构成了时空世界的无限样本，这个无限的样本就是世界万物。可见世间万物都是"样本"，是以一定的概率随机而生成的，即所谓的缘分。佛道有言"因缘和合而生，因缘散尽而灭"。

而佛道有言"万法皆空"，这里的"空"小白想即是０。万物终将归０，本无万物，一切"内积"为０，终归寂灭。因此，道家万物滋长，佛家万物寂灭，天道使然。

概率与数理统计教课书中，随机变量之间还有一种关系，叫独立。定义为，两个随机变量的联合概率等于概率的乘积，那么，两个变量就是独立的。怎么理解？

独立，字面理解就是毫无瓜葛。Ｘ的变化和Ｙ的变化没有任何关系。小白回想前面篇谈到的不相关，Ｘ和Ｙ的变化无关系不就是不相关吗？其实这里面还存在一个问题，这问题存在于Ｘ的变化和Ｙ的变化之间的关系。好我们先举一组样本如下：

（Ｘ，Ｙ）样本数据如下：

（１，９）；（１，０）；（１，２）；（１，２）；（１，４）；（１，８）；（１，６）

（３，０）；（３，２）；（３，４）；（３，８）；（３，９）；（３，２）；（３，６）

从相关的角度看，上述数据可看出Ｘ和Ｙ相关性很小（即，Ｘ变成３，Ｙ的变化很多可能性），可以说基本不相关。另外，还有一个变化的角度就是，即当Ｘ变化后，Ｙ的变化的可能性取值的分布，和Ｘ变化前，Ｙ的可能性取值的分布有什么不同嘛？或者说，Ｘ事件的发生，对Ｙ事件的发生的可能性有影响吗？即Ｐ（Ｙ／Ｘ）和Ｐ（Ｙ）之间是什么关系（这里Ｐ（Ｙ／Ｘ）表示条件概率）。假如Ｘ的变化对Ｙ发生的可能性没有影响，那么也就是"Ｐ（Ｙ／Ｘ）　＝　Ｐ（Ｙ）"，可以得到"（Ｐ（ＸＹ）／Ｐ（Ｘ）＝Ｐ（Ｙ））"，可以得到"Ｐ（ＸＹ）＝Ｐ（Ｘ）＊Ｐ（Ｙ）"。这就是Ｘ和Ｙ是否独立的前提条件。

总之，如果Ｘ和Ｙ线性不相关的话，判断Ｘ和Ｙ是否独立还需要看Ｘ的变化对Ｙ的变化可能性的影响。也就是说，相关性是考察变化的影响，而独立是考察变化可能性的影响。看来，独立的条件更为苛刻一些。

小白再臆想下，这个世界真有两个绝对互相独立的系统吗？小白认为独立是相对的，必须得以一定范围和粒度为前提。比如时空，小白理解我们五官感受到时空是不相关的，是正交的，是独立的。因为，时空的线性关联就是速度，在时空中，有各种大小的速度，因此，时空是不相关的；再者，时空是对称的，期望为0，因此，时空是正交的。小白也认为我们五官感知的时空也是独立的，比如今天和明天的空间没有什么不同，事件的变化不会导致空间的变化，空间也是均匀的。因此，时间变化不会导致空间有何变化。另外，身处任何地点，时间的变化也是均匀，没有什么不同的。但是，如果把时空在普朗克尺度内观察，那就量子力学的不可测；如果把时空拉到大尺度的范围观察，那就是相对论。因此，独立是相对的，是有条件的。如果，宇宙的初始真有一个奇点，那么世间万物均有关联，没有绝对的独立，只有绝对的关联。