2维集合与3维集合有什么区别？我们可能给出下面的粗略的回答：2维集合位于一个平面内，而3维集合会填满空间的一部分。这是一个好的回答吗？对于许多集合似乎是的，例如三角形、正方形、圆都可以画在一个平面上，而四面体、立方体和球体就不行。但是球体的表面即球面又如何？通常都会认为球面是2维的，而与球体是3维的相对照，但是球面并不位于一个平面内。
这是否意味着我们的粗略的定义不正确？不完全如此。从线性代数的角度来看，代表以R^3的原点为中心以1为半径的球面的集合
确实是3维的，恰好是因为它并不位于一个平面内（可以把这件事用代数语言表述为：由球面生成的仿射子空间是整个R^3）。然而在这种意义下的"3维"并没有充分考虑到一个不精确的思想：球体的表面没有厚度。是否肯定还有“维”的另一个定义，使得球体的表面按照这个定义确实是2维的？
这个例子说明，维这个概念虽然在整个数学中都很重要，却不是一个单一的概念。结果是有许多自然的方式来推广关于简单的集合如正方形、立方体的维的概念。这些推广时常又是互不相容的，就是说，一个集合的维数是多少，视采用的定义不同而有变化。本文下面就要提出几种不同的定义。
我们关于集合的维数的第一个基本的思想是："维数就是为了确定一个点所需的坐标的数目"。可以用这一点来论证，关于球面的维数是2的直觉是有道理的：只要给出球面上一点的经度和纬度就能确定这个点。但是要把这个思想变成严格的数学定义还要费点事，因为想要确定球面上的一个点，只要一个数就够了。这是因为可以取任意两个数，然后把它们的小数展开的各位数穿插起来成一个数。例如从x=3.141592653……和e=2.718281828…，可以做出一个数32.174118529821685238…，也可以从它跳着取各位数、这就重新返回到x和e了。甚至可以找到一个从闭区间[0，1]到球面的连续函数f，使它能取每个值。
所以我们必须决定，所谓“自然的”坐标系是什么意思，做这个决定的方法之一、会引导到流形的定义。这个方法基于以下的思想，就是球面的每一点都包含在一个"看起来"像是平面的一部分的邻域N中，所谓“像”是指在N和欧几里得平面R²的一个子集之间，存在一个很“好”的一一对应Φ。在这里，“好”也有不同的意义，其中一个典型的意义是Φ及其逆都是连续的、可微的，甚至无限可微的。
像这样，d维集合这个直觉的概念，即需要d个数来确定一点的位置，可以发展为严格的定义，使得它能够如我们所期望的那样，告诉我们球面确实是2维的。现在我们来取另一个直觉的概念，看一看从中能够得到些什么。
假设取一片纸，并且把它切成两片。分开这两片的边缘是一条曲线，而在正常情况下，我们会把曲线想成1维的，为什么曲线是1维的呢？我们可以用同样的推理：把曲线切成两段，则这两段相遇之处是一个点（或者当此曲线是一个环时，是两个点），而点是零维的。这样，说一个集合是d维的还包含这样一个意思，就是如果想把它一分为二，就需要一个d-1维集合。
让我们试着把这个思想讲得清楚一些。设X为一集合而x，y为其中两点。如果没有一条连接这两点而又避过Y的连续的路径，就称Y为x，y间的障碍。例如。如果X是一个半径为2的圆面，x是圆心，y是X边缘上的一点，则一个半径为1的同心圆就是x，y间可能的障碍。有了这个术语，就可以给出下面的归纳定义：
有限集合规定为0维的，而一般地，我们说X最多为d维的，如果X中的任意两点之间必有最多为d-1维的障碍的话。如果X最多是d维的，但不是最多为d-1维的，就说X为d维的。
上面的定义是有意义的，但是它会有困难，可以作出一个病态的集合 X 使之成为平面上任意两点的障碍，但是其中又不包含任意的曲线段，因此X成为0维的，从而使平面成为1维的，这当然不能令人满意。
把上面的定义稍作修改就可以消除这种病态，而给出一个由布劳威尔提出的如下的定义：我们说一个完备的度量空间X最多是d维的，是指对于任意两个互相分离的闭集合A，B。 恒可找到两个互相分离的开集合U和V使得A∈U、B∈V，而U∪V的余集合Y（即X中所有不在U∪V中的点所成的集合）最多为d-1维的。集合Y是一个障碍，而这里与前面主要的区别在于我们要求它为闭集合，这个定义当然也是归纳的，它从空集合为-1维集合开始。布劳威尔的这个定义称为集合的归纳维数。
下面是另一个基本的思想，导致由勒贝格提出的维的有用的定义。假设想要用较短的区间来覆盖一个开的实数区间，这时不得不要求这些较短的区间互相重叠，但是可以做到没有一个点属于两个以上的短区间，只要在作新区间时让其靠近前一个区间的端点就行了。
现在假设想用较小的正方形去覆盖一个开正方形（就是不包含边缘的正方形），也不得不让这些小正方形互相重叠，但是现在的情况还要更糟一点，有些点会落在3个小正方形里面。然而如果像砌砖一样来排列这些小正方形，
- 怎样用正方形作覆盖，而任意四个小正方形都不重叠
先如上图那样把这些小正方形紧靠着，再把每一个小正方形都稍微放大一点，就可以做出这样一个覆盖，使得没有任何四个小正方形重叠在一起，即有公共点。一般说来，如果想要用小的开集合来覆盖一个典型的d维集合，需要让d＋1个小的开集合重叠（即有公共点），但是不需让更多的小的开集合重叠了。
这个做法所引导到的精确定义一般得惊人，它不只对于R^n的子集合有意义，而且甚至可用于一般的任意拓扑空间。我们说一个集合最多是d维的，如果不论用什么样开集合的有限集合U_1，……，U_n去覆盖X、总可以找到另一个由开集合V_1，…，V_m组成的有限集合，具有下面的性质：
- 这些集合V_i覆盖整个X。
- 每个V_i都至少是一个U_j的子集合。
- 没有一个点含于多于d＋1个V_i中。
如果X是一个度量空间、可以选择U_i具有小的直径，这样迫使V也很小。所以，这个定义说的基本上就是可以用一组开集合V_i覆盖X，而使得X的每一点最多含于d＋2个V_i中，而且这些开集合V可以取得任意小。
如果X的维数最多的是d，就取最小的d，并且定义X的拓扑维数是d。于是又可以证明这个定义对于初等几何学里的熟悉的图形给出了"正确的"维数。
第四个直觉的思想会给出所谓的同调与上同调维数。
对于适当的拓扑空间，都附有一个系列的群、即同调与上同调群。在此只讨论同调群。但是也可以很类似地讨论上同调群。粗略地说、第n个同调群说的是有多少本质不同的从闭n维流形M到X的连续映射。如果X的维数小于n，可以证明第n个同调群是平凡的，在一定意义下讲，这就是说X中没有充分的空间来定义除常值映射以外的从闭n维流形M到X的有意义的映射。另一方面，n维球自身的第n个同调群就是Z，就是说，可以用一个整数参数来对从n维球到其自身的映射进行分类。
所以，下面的说法是很有诱惑力的：如果在一个空间里有足够的地方来容纳有意义的从n维流形到其内的映射，则这个空间至少是n维的。这个想法引导到了一大类维数的定义。一个结构X如果有某个子结构有非平凡的第n个同调群，则最大的n就定义为X的维数（必须要考虑子结构，因为如果有过多的空间，同调群也可能是平凡的，因为这时很容易把一个连续映射变形为一常值映射）。然而，同调是一个很一般的概念，而有许多不同的同调，从而就有许多不同的同调维数的概念，其中有一些是几何的概念，但是代数结构也会有同调理论，例如、应用适当的理论就可以定义代数结构如环或群的同调群，这是几何思想在代数上得到报偿的好例子。
现在转到关于维数的第五个也是最后一个直觉的思想，即如何度量大小。如果想讲述一个形体X的大小，那么一个好方法是：如果X是1维的，就告诉他长度；如果是2维的，就告诉他面积；3维的就告诉他体积。当然，这里已经预先假设知道维数，但是，我们会看到，有一个方法，在没有事先判定维数以前，就有办法知道哪一个度量最为适当。这样就扭转了局面：可以定义相应于最适当的度量的数就是维数。
为了做这件事，我们要利用这样一个事实，即当把形体放大时、长度、面积和体积各按不同的尺度变化。如果取一条曲线，把它（在各个方向上）都按因子2放大。 则长度也会加倍。更一般地说、如果按因子C放大、则长度会被乘以因子C。然而。 如果取一个2维形体，并按因子C放大，则面积会被乘以因子C^2（粗略地说，这个形体的每一个小部分都“在两个方向上”各放大了一个因子C、所以，需要把面积用C乘两次）。3维形体要乘以C³，例如半径为3的球体的体积是半径为1的球体的体积的27倍。
这样的作法，看起来似乎需要决定我们是先讨论长度、面积还是体积、才能够开始考虑当形体放大时取哪一个尺度因子，但是情况并不是这样的。例如，如果按因子2放大一个正方形，就会得到一个新的正方形，它可以分成四个与原来的正方形全等的小正方形。所以，用不着事前决定要讨论面积，我们就能说新正方形的大小是原正方形的四倍。
看到了这一点会得出一个引人注目的推论：有一些集合可以很自然地指定一个非整数的维数！可能最简单的例子就是最先由康托所发现而且现在就名为康托集的集合，它是这样构造出来的：从闭区间[0，1]开始，称它为X_0。然后把它的中间的三分之一除去，即把1/3到2/3之间的数除去，但是保留这两个数，这样构成集合X_1。所以，
下一步把这两个闭区间的中间三分之一除去，但保留它们的端点，所以除去的仍是开区间，这样得到X_2，所以X_2是四个闭区间
一般地说，X_n是一些闭区间之并，而X_(n 1)则是从这些闭区间除去中间的三分之一但保留端点所得的集合，所以它是由一些闭区间所组成的，这些闭区间的个数是组成X_n的闭区间的个数的两倍，但是每一个组成的闭区间大小只是前一步所得的闭区间的三分之一。得出了系列X_0，X_1，X_2，…以后，它们的交就是康托集，就是说，不论把删除中间三分之一的步骤作了多少次，始终会留下来的实数的集合就是康托集。
不难证明，这些点就是其三进小数展开式中只有数0和2那些数（有些数有两个不同的三进小数式，例如1/3既可以写成0.1也可以写成0.0222……。遇到这种情况宁可取循环的无限展开式，而不用有限展开式。总之，1/3属于康托集）。事实上，当在第n步除去中间三分之一时，就把三进小数（而不是十进小数）的小数点后第n位为1的那些数都删去了。
康托集有许多有趣的性质，例如它是不可数的，但是它的测度为0。其证明要点如下：第一个论断来自这样的事实。给出自然数集合的任意子集合 A 就会得到康托集的一个不同的元，而自然数集合有不可数多的子集合，所以康托集是不可数的。为了论证第二个论断，注意X_n的小区间的总长度为
因为在构造X_n时，我们把X_(n-1)的三分之一删去了。因为康托集包含在每一个X_n内，所以，它的测度必定对于任意的n都小于
这就意味着它的测度一定为零。所以康托集从一个角度来看是很大的集合，而从另一个角度来看又是很小的集合。
康托集的另一个进一步的性质是它的自相似性。集合X_1由两个闭区间构成，如果只看其中一个，而不断地把中间三分之一除去，所看见的就是整个康托集的构造过程，只不过按因子3缩小了。就是说，康托集是由它自己的两个复本构成的，而每一个复本都按因子3缩小。由此得到以下的命题：如果把康托集放大3倍，就可以把这个放大的康托集分成全等的两个，所以恰好是“两倍大”。
这件事对于康托集的维数有什么推论呢？如果它的维数是d，则放大以后康托集的形体应该是3^d倍大。但是现在只是2倍大，所以3^d=2，而维数d应该是log2/log3，即约为0.63。
一旦知道了这一点，康托集的神秘性就减少了。我们马上就会看到，可以建立一个分数维的理论，而且具有一个有用的性质、即可数多个维数至多为d的集合，其并也最多只有维数d。所以，康托集的维数大于零这一点就说明，康托集不可能是可数集合（因为单个点的维数为0）。另一方面，康托集的维数小于1，所以它比一个1维集合要小得多，所以毫不奇怪，它的测度为0（这有一点像说曲面没有体积，但是曲面和3维物体的维数分别是2和3。而康托集与1维集合的维数分别是0.63 和1。
分数维的理论中，最有用的是豪斯道夫发展起来的那一种。我们先从一个称为豪斯道夫测度的概念开始，
这是一个很自然的评估一个"d维体积"的办法，甚至当d不是整数时也能用。设有一条R^3中的曲线，而想这样来做出其长度。可以用球体覆盖这条曲线容易的程度来计算曲线的长度。第一个想法是看怎样使得覆盖的球的直径之和为最小，并以这个最小的长度为曲线的长度，但是这是不行的，可能走运遇到一条很长的曲线，但是它缠得很紧，以至于只需要一个直径很小的球体就把它覆盖起来了。
然而，如果要求所用的球很小，就不会发生这个情况了，所以设所有的小球的直径最多为 δ。令所有小球直径之和能够达到的最小值是L（δ）。δ越小，活动的余地也越小。所以，当δ趋于零时，L（d）趋于一个极限L（可能是无穷大），就称L为曲线的长度。
现在设有一个R^3中的光滑曲面，我们要看一看从用小球去覆盖曲面中能够得到什么信息。这一次，用很小的球（小到只与曲面的一部分相交，而这一部分几乎是平坦的）能够覆盖的曲面面积大体上是与球的直径的平方成正比。只有这一点是需要变动的细节：如果覆盖整个曲面的小球的直径最多为δ，令A（δ）为所有这些小球的直径的平方和所能达到的最小值，我们就宣布曲面的面积是当δ→0时A（δ）的极限（严格地说、还应该用π/4去乘这个极限，但是那样一来，我们得到的面积定义就不那么容易推广了）。
我们刚才得到了定义R³中的形体的长度和面积的一个方法．这两种度量的仅有的差别在于：对于长度，我们考虑小球的直径之和，而对于面积，则考虑直径的平方和。一般地，可以用类似的方法定义d维的豪斯道夫测度，只要应用直径的d 次方的和就行了。
我们可以用豪斯道夫测度的概念来严格地定义分数维。不难证明、对于任意的形体X，都能找到一个在以下意义下的合适的d：如果取c<d，则X的c维豪斯道夫测度为0，而如果c>d。则c维豪斯道夫测度为无穷大（例如对于光滑曲面的c维豪斯道夫测度，当c<2时应为0，而当c>2时为无穷大）。这样得到的d就称为形体 X 的豪斯道夫维数。它在分析分形集合时是很有用的。
重要的是要认识到，一个集合的豪斯道夫维数不一定等于它的拓扑维数。例如康托集，其拓扑维数是0，但是豪斯道夫维数是log2/log3。一个更大的例子是科赫雪花，它是一个非常细的锯齿形的曲线。因为它是一条曲线（从而一个点就可以把它切成两段），所以它的拓扑维数是1。然而因为它的非常细的锯齿形，它的长度是无穷大，所以可以证明它的豪斯道夫维数是log4/log3。
