感受“对称”之美体会“数形”之妙
——以2022年江苏省无锡市中考数学第28题为例
对称是图形的常见特征，在人们的美学印象中，有一种美就叫对称美。你会发现不论从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至诗词歌赋，都可以轻而易举地找到对称的例子。当我们把现实世界中具有对称结构的一些图案抽象成数学图形，并赋予其一定的数量关系和位置关系，数学的探究韵味由此展开...
试题呈现
已知二次函数y=-1/4x2 bx c图象的对称轴与x轴交于A(0,1),图象与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D左侧），且∠CAD=90°
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
解法探究
第（1）问：求函数解析式
分析：通法是利用待定系数法求解，即“一设二代三解四还原”，本题解析式已设好且还有两个待定系数（b,c）,故只需找到图像上的两个点将其代到已设的解析式中联立方程组求解即可，但题目的条件只给定了一个已知点B，还有一个条件是“图象的对称轴与x轴交于点A(1,0)”，说明对称轴“-b/2a=1”，利用这两个条件可解第一问。
解：将点B(0,3)代入y=-1/4x2 bx c，
可得C=3，
∵二次函数图象的对称轴与x轴交于点A(1,0)，
∴-b/2a=1，
解得：b=1/2，
∴二次函数的解析式为；y=-1/4x2 1/2x 3
第2问：在图形的特殊位置关系背景下求锐角三角函数值
分析：∠CDA是Rt△CDA的内角，欲求tan∠CDA，根据正切定义tan∠CDA=AB/AD,CA可在Rt△COA中利用勾股定理求解，所以当下的问题是求出AD。
切口1：不难发现在直角坐标系的衬托下，三垂直模型基本形成，基于这个想法可作垂直构造基础图形，利用相似三角形的性质设点并求出点D的坐标，然后将坐标转化为线段长在Rt△DAE中利用勾股定理求出AD，如下图1：
解法1：过点D做DE⊥x轴交x轴于点E
易证△COA∽△AED(AA)
∴CO/AO=AE/DE=3，
设点D坐标为(t,-1/4t2 1/2t 3)，
则OE=t，AE=t-1，DE=-1/4t2 1/2t 3，
得:3（-1/4t2 1/2t 3）=t-1
解得：t1=-10/3(舍去)，t2=4，
当时t=4时，y=-1/4t2 1/2t 3=1，
∴ AE=3，DE=1
在Rt△COA中，由勾股定理得AO=√10；
在Rt△DAE中，由勾股定理得AO=√10
∴tan∠CDA=AB/AD=1
切口2：受解法1的启发，求出点D的坐标是解决此问的关键，分析点D 的位置发现，点D在抛物线上同时也可以看作是直线AD上的点，若能写出直线AD的解析式，求点D的坐标就可以理解成求两个函数图像的交点坐标，只需将解析式联立方程组求解即可。如下图2
解法2:延长AD交y轴于点F
易证：Rt△COA∽Rt△AOF∽Rt△CAF(AA)
∵B(0,3),A(1,0)
∴A0=1,BO=3
AO2=BO·FO,得FO=1/3,即F(0,-1/3)
设直线AD的解析式为y=kx b，将A、F代入
解得：k=1/3,b=-1/3
即：y=1/3x-1/3
与二次函数解析式y=-1/4x2 1/2x 3联立方程组
解得:t1=-10/3(舍去)，t2=4，
故D(4,1),后面的解答过程与解法1类似
第3问：探究图形（点）在特殊条件下的存在性问题
分析：此问有些棘手，难点在于一是双动点（C、D)，点的运动必然带来△CAD位置的变化，当C、D两点位于坐标系不同象限时，点的坐标的表示方法也是不断变化的，不好用通式表示；二是基于运动变化的观点，假设存在不同的C点，那么C点可能位于坐标系任意象限，则点C、D的坐标就要按照点的不同位置去分类讨论，但按什么分类？分几类呢？怎样分类才不重不漏？；三是是否存在不同的点C，究其本质在于在满足△CAD特殊形状的前提下，点C、D必须同时满足在二次函数的图像上，若由解析式先设其中一个点C的坐标，再根据特定的数量关系（由位置关系决定）表示出另一个点D的坐标，要使点D在函数图像上，那么点D必然满足二次函数解析式，这样代入后极有可能形成高次方程（可能有4次），无法解出。
但无论图形如何变化，始终会有不变的关系。要使“tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等”，即tan∠CDA=1，即无论C、D位置如何变化，△CAD始终是等腰直角三角形，这样似乎找到了问题的本质。即，是否存在不同的点C就是在以点A为旋转中心，使等腰直角三角形△CAD绕点A旋转的动态图形上，重要的一点是点C、D必须同时满足在二次函数的图像上。
1.若先从数的角度出发。只需要设出C点坐标然后根据90度的旋转关系表示出D点坐标，再将D点坐标代入二次函数解析式构造方程，解出方程的解即可：
如果设点C(t,-1/4t2 1/2t 3),无论点C绕点A旋转90度得到的点D在什么位置，点D的坐标中必然带有2次，再带入解析式y=-1/4x2 1/2x 3中，必然是一个一元四次方程，解不了，不过可以给我们一点启发，如果一元二次方程有解，必然是有2个解，那么一个一元四次方成如有解，类比过来极有可能有4个解，也就侧面说明C点极有可能存在4个位置，抛开第（2）小问的一种情况，还有三种情况，即这一问C点有3个解。
2.若从形的角度出发。我们必须弄清楚动点C、D的运动过程，要满足题意，必须有两个同时满足的条件： ①C、D在二次函数y=-1/4t2 1/2t 3的图像上
②△CAD始终为等腰直角三角形
不难发现旋转点A具有鲜明的特殊性（对称轴与x轴的焦点），也就是说点A在二次函数图像的对称轴上，这个位置至关重要，决定了图形的属性（对称性）。
分析：要使“tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等”，即tan∠CDA=1，可以理解为“无论等腰直角△CAD的位置如何变化，∠CDA的大小始终为45度(不变）”，可以提供两种思考：①最特殊的情况——若旋转变化后的等腰直角△C1AD1恰与（2）中的等腰直角△CAD全等，根据全等的性质，全等则对应角相等，三角函数值相等；②一般情况，即无论C、D位置如何变化，△CAD始终为等腰直角三角形。
解析：①最特殊的情况
因为点A在二次函数图像的对称轴上，因为二次函数图像本身就是轴对称图形，我们可以以二次函数的对称轴为“对称轴”，做出△CAD关于对称轴对称的△C1AD1，根据轴对称的性质，两三角形全等，如下图3:
由对称性可知此时C1(-2,1),此时整个图形呈现对称性，妙！！！
②一般情况
我们可以想象，当点C1继续向左下方图像上运动时，点D1也会向左侧移动，而此时AC1和AD1会逐渐变长，在这个过程中点D1必然会跑到图像外，这种情形是不符题意的，如下图4：
因此，点C1只可能再往右运动，那如何确定位置呢？
当以图3的位置作为当前的起始位置让点C1往右运动，可以这样思考，△CAD始终为等腰直角三角形，直角题目已经给定，只需再满足AC=AD即可，点A固定且恰好在二次函数图像的对称轴上，而只有垂直平分线上的点到线段两端点的距离才相等，结合二次函数图形的对称性，当二次函数的对称轴x=1恰好是线段CD的垂直平分线时，必然满足AC=AD，如下图5：
3.从数形结合的角度求解：
解法1：过点C2作C2D2平行于x轴交二次函数图像于点D2,延长AC2、AD2交二次函数图形于D3、C3
∵△C2AD2等腰直角三角形,C2D2//x轴，AG⊥x轴
∴∠GAC2=45°，即AG=GC2
设C2（t,-1/4t2 1/2t 3),由AG=GC2可列方程：
1-t=-1/4t2 1/2t 3
解得：t1=3 √17(舍),t2=3-√17
故C2（3-√17，√17-2）
同理：
可设C3（t,-1/4t2 1/2t 3),可列方程：
1-t=1/4t2-1/2t-3
解得：t1=-1 √17(舍),t2=-1-√17
故C3（-1-√17，-√17-2）
解法2：
∵∠GAC2=45°，可设AC2的解析式为：y=x b
将点A(1,0)代入得:y=x-1
然后与二次函数解析式y=-1/4t2 1/2t 3联立方程组，解得方程组的解即为C点坐标（需要注意的是C点始终在D点左侧，所以要检验方程的解是否符合题意，不符合只需求该点关于对称轴x=1的对称点即可）
当然，当点C越过第（2）问中的特殊位置继续向右运动时，此时也是不合题意的，如下图6：
现在，我们可以来总结梳理一下整个运动的全过程：
整个结构无不是图形”对称“之美！！！
试题赏析
在教育领域有一个不成文的说法：全国教育看江苏。很显然，大众普遍对江苏教育是认可的。细细研究2022年江苏省无锡市中考数学第28题，收获颇多，我开始在做这题时消耗了一些时间，在第（3）问的解答结果上也漏解了，这一题层次感很强，入手起点低，但考生想得满分很难，因此有很好的区分度，命题非常成功。
当你把整个试题想清楚后，你会感觉出题者水平很高，用意很深，有很多精妙之处值得回味，出题者对学生评价的落脚点也绝不仅仅停留在数学知识，而是已经逐步渗透到数学思想，甚至于对学生的理性思维和创新精神的培养有很大的触动作用。
本题难就难在学生可能想到的解法往往都是有极大运算量的，貌似通法解决不了，但也一点没偏，只需换个角度去思考，运用数形结合的思想能快速突破，这就是”妙手“，当我们将整个运动过程的图形梳理后又会觉得这不就是常见的基础图形吗？不就是对称结构吗？
教学反思
1.登高，方能望远。教师对知识的认知程度直接决定知识的深度，只有加强对教材的不断研究，才能对整个数学知识的结构脉络有一个宏观的把握。2.教师对一节好课的价值取向是什么？是单纯的强调知识，还是尽可能的培养学生能力甚至于渗透学科核心素养？不同的价值取向，课堂是不一样的。通过本题的研究，我会去思考，我的课堂在函数章节的学习中，是怎样渗透数形结合思想的？不足在哪？还可以怎么去做？
数学家傅种孙曾在学术论文中提出”几何之务,不在知其然,而在知其所以然;不在知其所以然,而在何由以知其所以然?”，我想数学之务，大抵如此。数学老师的教学应不仅在于教会学生知其然，更是引导学生知其所以然，教师个人更要深悟何由以知其所以然?
