设 $A$ 为 $4$ 阶矩阵，行列式为 $|A|$。首先，可以使用代数余子式将 $|A|$ 展开。记 $A_{ij}$ 为 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$
列的元素，$A^{ij}$ 为 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素的代数余子式，即 $A^{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 为 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列元素划掉所形成的 $3$ 阶方阵的行列式。
根据行列式的定义，有：
$$
egin{aligned}
|A| &= sum_{j=1}^4 A_{1j} A^{1j} = A_{11} A^{11} + A_{12} A^{12} + A_{13} A^{13} + A_{14} A^{14} \
&= A_{11} (-1)^{1+1} M_{11} + A_{12} (-1)^{1+2} M_{12} + A_{13} (-1)^{1+3} M_{13} + A_{14} (-1)^{1+4} M_{14} \
&= A_{11} M_{11} - A_{12} M_{12} + A_{13} M_{13} - A_{14} M_{14}
end{aligned}
$$
这就是用代数余子式求解 $4$ 阶行列式的方法。利用此公式，将 $3$ 阶行列式展开为 $2$ 阶的过程类似，上面的公式可以一步步地得到。
x在矩阵中是四行三列，那么代数余子式的符号是（-1）^(4+3)=-1
去掉x所在行所在列，得到一个三阶矩阵
-1 0 0
1 7 0
2 4 6
然后再按第一行第一列展开得到M43=-1*（7*6）=-42
所以代数余子式为A43=-1*(-42)=42
