自由落体运动最后n秒问题探究

■赵财昌

摘要:自由落体运动是一种简单的匀变速直线运动，通过对自由落体运动最后n秒问题的研究，以期帮助学生更好理解和运用自由落体运动的规律，培养学生的科学思维.

关键词:自由落体运动;高中物理;一题多解

自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，加速度为重力加速度g，其基本运动规律为:

自由落体运动公式

图一

在学习自由落体运动的过程中，经常会遇到求解物体落地前最后1s的位移，最后2s的位移,最后ns的位移的问题，或者是知道最后1s的位移，最后2s的位移，最后ns的位移，求解其它运动学量.以下通过两道例题对此类问题深入研究,供大家学习参考.

例1

一小石子在从离地面125m的空中自由落下，如果忽略空气阻力，求小石子在落地前最后1s内的位移.(g取10m/s²)

解法1(错解):已知小石子运动时间为1s,则落地前最后1s内的位移为:

错误答案

解法2:由公式②可得小石子下落时间为:

小石子下落时间

前4秒下落的高度为h'

所以小石子在落地前最后1s内的位移为:

Δh=h-h'=45 m

解法3:由v²=2gh可得小石子落地速度为:

落地速度为：v=50m/s

小石子落地前最后1s初的速度为:

v₀=v-gt =(50-10x1)m/s=40m/s

所以小石子在落地前最后1s内的位移为:

解法4:先求小石子下落总时间，再根据初速度为零的匀加速直线运动,在相邻的连续相等的时间内位移比公式来求⁽¹⁾，其公式为x₁:x₂:x₃:···:xₙ=1:3:5:···:(2n -1).

小石子下落总时间为:

先求出小石子下落总时间为5秒

再求出第1秒下落的位移

设小石子在落地前最后1s内的位移即第5s内下落的位移为h₅，则有:

点评:解法1错误原因在于没有理解自由落体运动的规律，对于自由落体运动中间一段,初速度不为零,所以不能直接应用自由落体运动的规律。解法4应用了匀变速直线运动的推论，由于自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的推论都是适用的。

例2

传闻牛顿坐在苹果树下，苹果落到了他头上，他突发灵感总结出了万有引力定律,科学家们对现象的观察和思考是值得我们学习的。如图，苹果树树干部分高1.4m,由于扰动,苹果从树冠顶端自由下落，测知苹果经过树干所用的时间为0.2s，重力加速度g=10m/s²，苹果下落过程中的阻力不计，求:树冠部分的高度。

解析:已知苹果树树干高度以及苹果经过树*时间，其实就是知道了苹果落地前最后0.2s内的位移为1.4 m，与例题1是个相反的过程。

解法1:设树冠的高度为h，由公式②可知:

自由落体运动公式

苹果落地时间

联立 ①②③，代人数据解得:h = 1.8 m

解法2:设苹果通过树冠的时间为t，则落地时间为t 0.2

由公式②可知:

树冠和树*高度

h₁=0.5g(t 0.2)² ①

树冠的高度

h₂=0.5gt² ②

由题意知:

h₁-h₂=1.4 m ③

联立 ①②③,代入数据解得:

t=0.6s

所以树冠的高度为

h₁=0.5gt²=

h₁=1.8m

解法3:设苹果经过树冠末端的速度为v₀，由运动学公式可知:苹果经过树干过程中

匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的速度，即苹果通过树干中间时刻的速度v=7m/s，设苹果通过树冠的时间为t，则苹果到达树干中间时刻的所用时间为t 0.1

由v=g(t 0.1)

代入数据解得:t=0.6s

所以树冠的高度为

h=0.5gt²=0.5x10x0.6²m=1.8 m

解法6:初速度为零的匀加速运动，在相邻的连续相等的时间T内位移比为:

x₁:x₂:x₃:···:xₙ=1:3:5:···:(2n-1)

取T=0.2s，苹果在第1个T时间内的位移为：

h=0.5gT²=0.5×10×0.2²m=0.2 m

苹果在第n个T时间内的位移hₙ=1.4m，则

h₁:hₙ=0.2:1.4=1:(2n-1)

解得n=4

所以苹果通过树冠的时间t=0.6s

树冠的高度为

h=0.5gt²=0.5×10×0.6²m=1.8 m

点评:题目设置了一种新的物理情景，但本质还是自由落体运动最后n秒的问题.解法1直接,但运算量大,计算能力要求较高;解法2、3、4没有直接设高度，而是间接设时间和速度,减少了计算量,属于基本方法;解法5、6利用了匀变速直线运动的推论,方法巧妙,大大减少了计算量.

练习:一小球从某一高处自由落下,空气阻力不计,g取10m/s²。如果小球落地前的最后1s下降高度是整个下落高度的9/25(25分之9)，则小球刚下落时的高度是多少?

(参考答案:125m)

比较例1和例2,我们发现已知条件和未知条件发生了互换,是互逆的的两个过程,但本质是相同的,都属于求解自由落体运动最后n秒的问题.解决此类问题常用方法主要有两种:一是差值法,即用总位移减去最后n秒之前的位移求解或者建立等式;二是初速法，即假设最后n秒之初的速度,用位移公式求解.此类问题解法很多,平时学习要注意一题多解,举一反三,达到熟练掌握运动规律以及它们之间的联系,培养学生的发散思维和创新思维.

参考文献:

[1]王贇.例析如何求解自由落体运动下落的高度

[J].湖南中学物理,2017,32(09):97,78.

[山东省青岛市即墨区美术学校(266200)]

文章来源:

数理化学习(高中版)2021年第7期

作者简介:赵财昌(1979-),男,湖北襄阳人,本科,讲师,主要从事高中物理教学研究。

1581年，17岁的伽利略进入了比萨大学，作为一名医学生开始了自己的大学生涯。

……

而在老师眼中，集逃课、善辩与耍小聪明刁难教授于一身的伽利略无疑是“坏学生”的典型。历史处处蕴含着奇妙的辩证法:“好学生”在旧秩序中出类拔萃，“坏学生”要奠定新秩序来出类拔萃，而新的秩序调教出一批新的“好学生”并等待着新秩序下的“坏学生”来埋葬自己。批量生产的“好学生”至多能承担书写或誊抄历史的任务，而不世出的“坏学生”才是历史的开创者与引路人。

归谬法

……对同一事物，相互矛盾的陈述不能同时为真，相互反对的命题也是如此……

——亚里士多德《形而上学》

与哥白尼、第谷、开普勒甚至阿奎那、布鲁诺一样，伽利略在神学院（大学）接受了系统的中世纪经院教育，以追溯到毕达哥拉斯和柏拉图的“自由七艺”为主要内容，包括“三门”（语法、修辞、逻辑）和“四科”（算术、几何、音律、天文）。天主教旗帜下的“七艺”传承的是一种古希腊哲学家和古罗马法学家的思考模式，这种思考模式在亚里士多德、阿奎那和伽利略之间连结成一条隐秘的纽带。

……由静止开始的匀加速直线运动——“天然的加速运动”，物体开始下落计时后某一时刻的速度与时间成正比（任意相等时间间隔内速度的增量都相等），比例系数被定义为“加速度”，且这段时间内，运动的平均速度为末速度的一半。对该结论的证明延续了古希腊的几何学传统，实质上已经奠定了后世解析几何与微积分手段的雏形。

这套几何描述的一个自然而然的结论:由静止开始的匀加速直线运动，从出发点计时到任意位置的距离正比于时间的平方——如果这个匀加速运动是自由落体，那么这就是所谓“自由落体定律”。它还有一个在经验世界可供检验的推论:从静止开始，任意相邻相等时间间隔内的运动距离之比为1:3:5:7:9……恰好构成一个奇数列——这是一个毕达哥拉斯式的发现。

……

伽利略带着真正意义上的“比萨斜塔”——一个带槽的木质斜面，登场了……

取大约12肘①长、半肘宽、三指厚的一块木头模板或余料，在上面挖一条比一指略宽的槽，使之非常笔直、平坦和光滑，给它垫上尽可能平坦和光滑的羊皮纸，我们槽释放一个坚硬、光滑且非常圆的铜球。将这个木板倾斜放置，使一端比另一端高约一到二肘，我们如前所述释放铜球，用稍后介绍的方法计量滚下的时间。为了时间测量的精度达到两次观测的误差不超过1/10次脉搏，我们不止一次重复实验。完成该操作并确认其可靠性后，我们现在仅在槽长度的1/4处释放铜球并测量滚下的时间，我们发现它恰好是前者的一半。接下来，我们尝试其它距离，将铜球滚下全长的时间与1/2，2/3，3/4或任意分数长度的时间作比较；在这些重复上百次的实验中，我们总是发现通过距离之比等与时间平方之比，这个规律对我们释放铜球的槽所在任意坡度的斜面都成立。我们还观测到各种坡度斜面滚下时间之间的精确比，之后我们将会看到，作者已经预言并证明之。

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①1肘约合45.7－55.9厘米。

为了测量时间，我们在较高处放置一个大的盛水容器；在容器底部焊接一根可以射出细小水流的小孔径管，无论铜球从槽的全长或部分长度处滚下，每次铜球滚下时间内射出的水收集在一个小玻璃杯中；每次铜球滚下后收集的水放在一个非常精确的天平上称量；这些重量的差别和比例为我们提供了每次时间的差别和比例，其达到的精度以至于尽管重复操作许多许多次，结果无明显差异。

——《关于两门新科学的谈话和数学证明·第三天》

……

哲学（换言之自然哲学）是写在一本伟大的书上——我指的是宇宙，这本伟大的书不断开拓我们的视野，但是我们无法读懂它，除非一个人首先学会领悟书写它的语言和字符。书写它的语言是数学，它的字符是三角形、圆形及别的几何图形。离了数学，人力不可能解读其中任何一个单词；离了数学，人将徘徊在幽暗的迷宫。

——伽利略《试金者》

本节内容摘编自:

李轻舟著《德尔斐的囚徒：从苏格拉底到爱因斯坦》

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

天不生仲尼，万古如长夜。

——[宋] 唐庾

摘要 伽利略是近代科学的奠基人、近代物理的奠基人，被誉为神眷顾的数学家、托斯卡纳的阿基米德、艺术与科学的真正鉴赏者、天才的手艺人、学术自由的烈士。伽利略将有效定量化带入了物理学，用天体观测结果否定了地心说，制作了测温仪，发现了惯性定律、单摆周期公式、落体公式，以及被追认为伽利略相对论的关于运动的认识。伽利略留下了大量思想充盈、文笔优美的著作，那是物理学的启蒙典籍。

伽利略

1

伽利略小传

如果不是为生活所迫，谁肯把自己弄得满身才华？我以为这句话就是个玩笑，没想到世界上还真有这样的人。意大利历史上就曾有过这么样的一个人，他被誉为divine mathematician（神眷顾的数学家），Tuscan Archimedes（托斯卡纳的阿基米德），true connoisseur of arts and science（真正的科学与艺术鉴赏家），是第一个把有效定量化（effective quantification）引入物理学从而让物理学不再如从前那样仅仅是定性描述（qualitative description）的人，是亚里士多德学说的对头、哥白尼学说的捍卫者、数学的标准制定者、耶稣会士痛恨的人、学术自由的烈士（the sworn enemy of Aristotle, the champion of Copernicus, the standard-bearer of mathematics, the bête noire of the Jesuits, or the best-known of all martyrs to academic freedom）。这些可不是什么才华不才华的事儿，事关对人类的启蒙。这个人就是伽利略（图1）。伽利略是个全面型的天才人物，但也是在艰难困苦中取得那些辉煌成就的。有评论称，若不是为了混口饭吃，伽利略可能不会成为这其中的任何一个角色（Galileo would have become none of these things had he not to work for a living）。

……

那么，如何对落体运动加以定量地研究呢？我们知道，从20米的高处落下的物体，到达地面的时间大约为2秒，在伽利略时代，没有钟表、没有高速摄影，这可如何研究？伽利略发现，在斜坡上滚下的小球，如果斜坡的仰角足够小，下落时间就足够长，长到能进行有意义测量的程度。约在1604年，伽利略将一个木制斜坡的仰角做到小至17°（图5）。伽利略在斜坡上装上位置可调的铃铛，金属小球滚过铃铛时，会让铃铛发出响声宣告小球的经过。伽利略调节铃铛的位置，使得听到的铃铛声有（近似）相等的间隔，测量铃铛之间的间距（对于第一个铃铛，则是其到小球开始下落处的距离，开始下落处一般选为斜坡的顶端），发现间距之比约为 1：3：5：7……（此处没有精确测量。精确测量加计算机模拟，能将简单的规律都弄丢了。物理学是用头脑建立起来的）。这意思是说，随着时间单位的增加注释[1]，小球滚过的距离为12：22：32：42……于是得落体定律

。此部分内容见于伽利略的《关于两种新科学的对话》。等到有了微积分，我们知道落体公式为h=½at²。对于自由落体，h=½gt²，g是重力加速度。注意，这里又是y=kx²类型的关系。实际上，法国中世纪学者奥雷斯姆 （Nicole Oresme，1320~1325？-1382）此前曾得到过匀加速运动的距离-时间平方律。

伽利略的斜面

注释:以上内容摘编自曹则贤著《磅礴为一》第一章，内容有删减。在他的另一篇文章里，对伽利略斜面实验这样点评过:

实验是一门需要天才的艺术。如何做实验的一个伟大典型范例，我可以举伽利略是如何得到落体定律h=at²的为例。想象一下伽利略那时一没有计时器（挂钟还在等他的原理性发明呢），二是在他能获得的条件下落体时间不过两秒左右，他都没法得到不同时刻落体的位置。伽利略该怎么办？向政府申请大笔经费？关键是钱不能解决思想贫乏的问题啊。伽利略首先想到用斜坡也能得到下落过程的规律——自由下落就是在90°斜坡上的滚动（我做了30年实验都没曾有过一个这样天才的想法）。斜坡可以延长下落时间，使得记录位置成为可能。他把斜坡的坡度降到了17°。其次，他在斜坡上安放一些位置可调的小铃铛，小球滚过碰响铃铛，而这铃铛响的间隔可以用来标志时间(图3)。伽利略用自己的脉搏和哼唱的曲调来计时（粗略地计时。没思想的精确数据有啥用！），调整铃铛位置，使得他用脉搏和哼唱标记的小球滚过两个铃铛之间距离的用时大概是相等的。这样，相邻铃铛之间的距离是小球在下落不同时期在同样长度的时间间隔内滚过的。测量铃铛之间的距离，发现它们之间的间距之比近似地（很粗糙的近似。没思想的精确数据有啥用！！）为1:3:5:7:9……, 也就是说在n个时间单位内，小球下落过程中滚过的距离为n²个距离单位，因此落体定律应为h=at²，其中a是未知的比例系数。怎么样，这才叫实验。