开普勒是德国物理学家和数理天文学家。1595年7月19日的天文课上，开普勒突发异想：发现一个正三角形内切圆半径与外接圆半径之比，大致等同于哥白尼《天体运行论》中木星与土星均轮半径之比，顿悟到其中的"奥秘和天意"。他提出的开普勒行星运动定律，使得千古之谜得以真相大白，人类的理性文明突飞猛进，三角形是最简单的封闭图形，是研究几何的基础，是从简单到复杂的典范。
开普勒经过18年的不断探索，终于发现了以他的名字命名的行星三大运动定律，在1619年出版的《宇宙和谐论》中正式公布了这一用数学形式描述的结果，并指出："对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些正是上帝用数学语言透露给我们的。"开普勒的墓碑上刻着他自己写的墓志铭：
"我曾观测苍穹，今又度量大地,灵魂邀游太空，身躯化为尘埃。"
麻雀虽小，五脏俱全。 三角形涉及一些重要的点，分别是重心、垂心、外心、内心，简称三角形的"四心"，最早的发现和应用可追溯到古巴比伦人。
三角形三个内角的平分线的交点叫三角形的内心，内心也是三角形内切圆的圆心。
从一般到特殊，从三角形内心出发，可探寻更多的结论。
例1.面积为定值m的△ABC中，其内切圆切AB于点D，切AC于点E，切BC于点F，证明下述三个命题彼此等价：
（1）AC▪BC取最小值；
（2）△ABC为直角三角形；
（3）AD▪BD=m。
证明如图，有切线长定理可设
变式1.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了"三斜求积术"，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，
变式2．（2020•浙江自主招生）已知如图，Rt△ABC中，内切圆O的半径r＝1．
变式3．如图，△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝50°，点P为AB边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为△BPC的内心则：
（1）CP的最小值＝_____ ；
（2）∠CIB的取值范围是_____-．
【解答】：（1）根据垂线段最短可知：当CP⊥AB时，PC的值最小，
∵此时∠APC＝90°，∠A＝30°，
∴PC＝1/2AC＝4，故答案为4．
（2）∵I为△BPC的内心，
∴∠IBC＝1/2∠PBC，∠ICB＝1/2∠PCB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC ∠ICB）＝180°﹣1/2（∠ABC ∠ACB）＝180°﹣1/2（180°﹣∠BPC）＝90° 1/2∠BPC，
∵30°＜∠BPC＜130°，∴105°＜∠BIC＜155°，故答案为105°＜∠BIC＜155°．
勾股容圆,不晚于东汉前期, 金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边公式，其中用到了多组勾股数作为例子。
《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的"勾股容圆"名题，其歌词为：
十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．
当中提出的数学问题是这样的：已知直角三角形的两直角边边长分别为15步，8步，试求其内切圆的直径．
我们可以这样解答如下：如图，∵∠B＝90°，AB＝15步，BC＝8步，∴AC＝17步，设⊙O的半径为r，则四边形BDOE为正方形，∴AD＝AF＝15﹣r，CE＝CF＝8﹣r，∴15﹣r 8﹣r＝17，解得r＝3，∴内切圆的直径＝6．
例2.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，与AB，AC两边分别切于D，E两点，连接DE。点P是劣弧DE上的一个动点（不与D，E重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥ AC于点N，PK⊥BC于点K，PK交DE于点L。
解析：本例条件简明，结论优美，等边三角形、圆的性质及对称性结合在一起，有条件得（1）PM PN PK是一个定值；（2）DE为等边△ABC的中位线，这两个结论是简化证明的有力支撑，对于（2），通过平方脱去根号，再寻求线段之间的数量关系。
（1） 连接PE，PD，
迭代法,顾名思义，迭代法即指不停地代入计算，也有循环执行、反复执行的意思，其实质是提供一个可重复的算法。送代总与递归联系在一起，可反映事物的动态发展过程。
例3.如图，取一个任意△A０B0C0，作它的内切圆，三个切点确定一个新的△A₁B₁C₁，然后对后者做同样的事。这个过程称为选代。如果我们一次一次不停地迭代下去，就得到一个迭代三角形的序列。很显然，它的尺寸越来越小，迭代三角形最终趋向于一点，但我们的问题是：这些三角形的形状最终会是怎样呢？
解析：解决问题的关键是能否找到这个迭代过程的一般规律，即下一次的迭代三角形和目前的迭代三角形的关系。
当n趋向无穷大时，x总是趋向于60°，与x0无关。于是得：任给一个初始三角形，由内切圆确定的迭代三角形，其形状越来越趋向于一个等边三角形。
变式1.如图 ，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P₁是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，滚动一次后，圆心为P₂，再滚动一次，圆心为P₃…，依此规律滚动，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是_______．
【解答】：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，
∴Rt△OAB内切圆的半径（3 4-5）/2=1，∴P₁的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P₂，第二次滚动后圆心为P₃，第三次滚动后圆心为P4，…，
∴P4（3 5 4 1，1），即（13，1），每滚动3次一个循环，
∵2019÷3＝673，∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的横坐标是673×（3 5 4）＝8077，即P2019的横坐标是8077﹣2＝8075，
∴P2019的坐标是（8075，1）．故答案为：（8075，1）．
三角形的内心和旁心, 如图，与三角形的三边都内切的圆是唯一的，与三角形的一边外切、与另两边的延长线内切的圆有三个，该三角形的三条内角平分线和三条外角平分线形成一个大三角形及其三条高，它们的交点是这些圆的圆心。
数学是一座美丽的花园，一片深邃的海洋，一个奇妙的世界。正如杨振宁教授所言："任何科学领域都存在美，只要你能用心发现它的美，你就能攀登到科学的顶峰。"
