我们来玩一个简单的几何游戏：
- 首先取一个等边三角形，三个顶点分别记为A1、A2、A3；
- 然后在该三角形内部随机取一点P0，再从顶点A1、A2、A3中随机取一个点，连线后取两者的中点，记为P1，并擦掉连线；
P0随机选取，然后随机选择了顶点A2，得到P1
- 得到P1后，再从顶点A1、A2、A3中随机取一个点，连线后取两者的中点，记为P2，并擦掉连线；
随机选择了顶点A3，得到P2
- 不断重复以上过程，这样依次可以得到P3、P4、P5......
（今日头条 by)
猜一猜：最终将会得到一个什么样的图案？每次都随机选取顶点，最后得到的会是一片杂乱无章的点吗？最终图案跟初始点的位置有关吗？
我们来尝试一下（编个程序很容易进行）。
迭代30次以后，我们有31个点。杂乱无章，没什么规律
迭代30次
迭代200次以后，我们有201个点。似乎有那么点意思了？
迭代200次
迭代3200次看看，3201个点。看出规律来了吗？
迭代3200次
迭代100000次，100001个点
迭代100000次
这个结果眼熟吗？
如果忽略一开始的几个孤立点，我们就得到了分形几何中大名鼎鼎的谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）。
如果换个初始点，比如，从正三角形的中心开始，结果会不一样吗？
迭代100000次后，我们得到
从正三角形的中心开始，迭代100000次
除了一开始的几个孤立点不同，我们仍然得到同样的谢尔宾斯基三角形！
通过不断地随机迭代，我们就从无序中得到井然有序的图案。
如果不是三角形，对于正方形、五边形、六边形，又会如何呢？对于正方形，迭代100000次后，得到
正方形，迭代100000次
杂乱无章，一团浆糊。
对于正五边形，迭代1000000次后，得到
正五边形，迭代1000000次
从结果来看，似乎只有奇数边的多边形，可以形成类似谢尔宾斯基三角形的分形结构；而偶数边的多边形最终无法形成有序的图案。
对于三角形，迭代的时候如果不是取1:1的中点，比如取1:2、1:3或2:3的比例点，又会如何呢？稍作尝试，结果如下：
2：3
5：4
1：2
选择不同的比例点，也可以形成类似谢尔宾斯基三角形的分形结构。
那为什么会形成这样的分形图案呢？
欢迎评论区讨论[思考]
最后留一个问题
对于正方形或其他偶数边的多边形，如果选择合适的比例点，能够形成类似的分形结构吗？
（今日头条 by )
