汉诺塔问题是程序设计中的经典递归问题。
汉诺塔游戏：有n个盘，A为起始柱，B为借力柱，C为目标柱，n个盘从小到大编号为1、2、3、...、n-1,n，求需要移动的步数最优解F(N).
汉诺塔游戏的规则如下：
1、每次只能移动一个圆盘。
2、圆盘只能放在空柱子上或者比自己大的圆盘上。
3、不能将圆盘放在比自己小的圆盘上。
1、解题思路：
（1）、当n=0,则没有盘，无需移动，故F(n=0)=0
（2）、当n=1,则直接从A柱移动到C柱即可，故F(n=1)=1
（3）、当n=2时，则需要需要的步数F(n=2)=3：
2个盘汉诺塔解法如下图所示：
第1步：将盘1从A柱移动到B柱，需要移动次数为1
第2步：将盘2从A柱移动到C柱，需要移动次数为1
第3步：将盘1从B柱移动到C柱，需要移动次数为1
综上，F(n=2)=1 1 1
2个盘汉诺塔解法
（4）、当有n个盘时,将盘1至盘n-1当作一个整体盘，则问题就转化为整体盘、盘n的两个盘汉诺塔问题了，故需要移动的次数为：F(n)=F(n-1) 1 F(n-1)
n个盘汉诺塔需要移动次数记为F(n),则n个盘汉诺塔解法如下图所示：
第1步：将整体盘（盘1至盘n-1）从A柱移动到B柱，则需要移动次数为F(n-1)
第2步：将单个盘n从A柱移动到C柱,则需要移动次数为1次
第3步：将整体盘（盘1至盘n-1）从B柱移动到C柱，则需要移动次数为F(n-1)
综上：F(n)=F(n-1) 1 F(n-1)=2*F(n-1) 1
n个盘汉诺塔问题（递归求解法）
2、递归求解F(n)
由上面的解题思路，可得n个汉诺塔需移动的步数的递归公式为：F(n)=2F(n-1) 1,其中n>=1,F(0)=0,F(1)=1,经举例发现F(n)=2^n-1（n>=2）。
（1）当n=0时，F(n=0)=0
（2）当n=1时，F(n=1)=1=2^0
（3）当n=2时，F(n=2)=2F(n-1) 1=2F(1) 1=2*1 1=2 1=2^1 2^0=2^2-1=3
（4）当n=3时，F(n=3)=2F(n-1) 1=2F(2) 1=2*(2^1 2^0) 2^0=2^2 2^1 2^0=2^3-1=7
（5）当n=4时，F(n=4)=2F(n-1) 1=2F(3) 1=2*(2^2 2^1 2^0) 2^0=2^3 2^2 2^1 2^0=2^4-1=15
观察上式可得，F(n)=2F(n-1) 1=2^n-1，下面用数学归纳法证明F(n)=2^n-1成立即可。
3、数学归纳法证明F(n)=2^n-1，证明过程如下：
（1）当n=0时，F(n=0)=0=2^0-1
（1）当n=1时，F(n=1)=2F0) 1=2*0 1=1=2^1-1
（2）当n=2时，F(n=2)=2F(n-1) 1=2F(1) 1=2*1 1=3=2^2-1
（3）当n=3时，F(n=3)=2F(n-1) 1=2F(2) 1=2*3 1=7=2^3-1
（4）当n=4时，F(n=4)=2F(n-1) 1=2F(3) 1=2*7 1=15=2^4-1
（5）假设当n=k时，F(n=k)=2F(k-1) 1=2^k-1成立，则只需证明当n=k 1时，等式也成立即可
（6）当n=k 1时，F(n=k 1)=2F(k) 1=2*( 2^k-1 ) 1=2*2^k-2 1=2^(k 1)-1,即当n=k 1时，F(n=k 1)=2^(k 1)-1，等式成立，故F(n)=2^n-1（n>=2）等式成立。
综上：n个盘的汉诺塔需要移动的步数最优解：F(N)=2^n-1.
4、python模拟实现汉诺塔移动过程：
count=0 # 移动次数
# n个盘汉诺塔从A柱移动C柱，B柱为借力柱移动过程模拟,list_start为起始柱的盘子
def hannuota_list(list_start,A_start,B_min,C_end):
global count
n=len(list_start)
if n==0:
print(f'无需移动,已移动次数{count}')
elif n==1:
count=count 1
print(f'第{count}次移动: 盘{list_start[n-1]}：{A_start} --> {C_end}') # 整体盘从起始柱 A_start 移动到目标柱 C_end
else:
list_aa=[list_start[x] for x in range(n-1)] # 盘切分成两部分
#list_bb=list_start[n-1] # 最后一个盘
hannuota_list(list_aa,A_start,C_end,B_min) # 整体盘从起始柱 A_start 移动到 借力柱 B_min,目标柱 C_end 为过渡
count=count 1
print(f'第{count}次移动: 盘{list_start[n-1]}：{A_start} --> {C_end}') # 整体盘从起始柱 A_start 移动到目标柱 C_end
hannuota_list(list_aa,B_min,A_start,C_end) # 整体盘从借力柱 B_min 移动到 目标柱 C_end,起始柱 A_start 为过渡
# 主程序：
if __name__ == '__main__':
n=4
list_a=[x 1 for x in range(n)] # 生成盘号分别为1,2,3,...,n-1,n的盘
print(f'{n}个汉诺塔从上往底部的盘号依次为：{list_a}')
print()
print(f'{n}个盘汉诺塔移动模拟过程如下: ')
count=0
hannuota_list(list_a,A_start='A柱',B_min='B柱',C_end='C柱') # 移动4个盘,起始柱为A柱，目标柱为C柱，借力柱为B柱
运行结果如下：
