“两定点一定长”之路径最短模型（八升九培优）

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源自网络

阅读材料：（源自网络）如图，单位A与B分别位于一条封闭式街道的两旁，现在准备合作修建一座过街天桥（桥必须与街道垂直），问：请在图中画出桥建在何处才能使由A到B的路程最短？

分析：由于街道宽度是固定的，造的桥要与街道垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A₁，那么为了使AMNB最短，只需A₁B最短。根据两点之间距离最短，连接A₁B，交街道的边沿于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。如图2。

解：如图，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于街宽，到达A₁点，连接A₁B，与街靠近B的一侧交点N，过N点建桥即符合要求；

证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M₁N₁。

则M₁N₁=MN=AA₁；AM₁=A₁N₁；AM=A₁N.

又根据“两点之间，线段最短”。

可知，A₁N₁ N₁B＞A₁N NB。

所以，路径AMNB要短于AM₁N₁B。

利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。

“两定点一定长”之路径最短模型

模型再现：

“两定点一定长”之路径最短模型动态演示：

分析：因EF的长固定，问题转化为求AE＋AF的最小值．看似将军饮马问题，但却又有区别，两定一动，变成了一定两动，但最终肯定要转化为“两点之间，线段最短”的模型(“两定点一定长”之路径最短模型)，因此，先考虑将AF转化，连接CF，则AF＝CF，问题转化为求AE＋FC的最小值．

动态演示：

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