数学之美(12)——从洛书(三阶幻方)到拉丁幻方(数独)

数学之美(12)——从洛书(三阶幻方)到拉丁幻方(数独)

首页休闲益智欧拉幻方更新时间:2024-08-02

洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源。在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数。

这不仅在金庸小说中也有描述,也包含了易经八卦(乾坤艮巽兑泽离震)。

洛书

洛书与后天八卦

洛书与佛教

如果将洛书中的数字按16同宗,27同道,38为朋,49为友连起来,得到佛教的卍,看下图

佛教的卍

从数学角度来讲,“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方,它有3行3列,三横行的三个数之和,三竖列的三个数之和,两对角线的三个数之和都等于15.

幻方就是把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内,使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等.

罗伯法

用罗伯法构造幻方(多阶) :

1 居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中

依次斜填切莫忘——向右上角斜行,依次填入数字

上出框界往下写——如果右上方向出了上边界,就以出框后的虚拟方格位置为基准,将数字竖直降落至底行对应的格子中

右出框时左边放——同上,向右出了边界,就以出框后的虚拟方格位置为基准,将数字平移至最左列对应的格子中

重复便在下格填——如果数字{n} 右上的格子已被其它数字占领,就将{n 1} 填写在{n}下面的格子中

右上重复一个样——如果朝右上角出界,和"重复"的情况做同样处理.

罗伯法三阶幻方

罗伯法五阶幻方

提出问题:罗伯法中的右上角能不能换成左上角呢?大家不妨一试。

有人已经发现了,这些幻方的阶数都是奇数,即三、五、七等等,那么偶数阶幻方可以吗?

第一类:双偶阶幻方,阶数为4,8,12,……4m这样的幻方

定义下互补:如果两个数字的和,等于幻方最大数和最小数的和,即 m×m 1,称为互补。

先填四阶幻方

步骤:4×4 1=17,所以和为17的两数互补

将数按从左到右,从上到下排列出来

第一步

然后将对角线上数字连起来,并交换位置

第二步:作互补变换

得到的就是四阶幻方,当然保持对角线上数字不动,交换其它互补位置的数字一样可以。

对角线不动,换别的数

对于n=4m阶幻方,我们先把数字按顺序填写。写好后,按4×4把它划分成m×m个方阵。因为n是4的倍数,一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方。

第二类:单偶阶幻方

像6,10,14,18…… 4m 2类型的幻方

这种幻方是最复杂的幻方,也有规律可循的

以n=10为例。这时,m=2

(1) 把方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数。

第一步:分区域

第二步:按ADBC五阶方法填数

(2) 在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出m(10阶的m=2)格,即中间格及其右边那一格。A象限的其它行则标出最左边的m格(即每行的前2格)。将这些格,和C象限相对位置上的数,互换位置。

(3) 在B象限任一行的中间格,自右向左,标出m-1(2-1=1)列。(注:6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换),将B象限标出的这些数,和D象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方。

标红交换数字

交换位置即可

这样幻方就得到了,看似复杂,掌握方法后就很简单了~~

数独

18世纪的欧洲,据说普鲁士的腓特列大帝曾组成一支仪仗队。仪仗队共有36名军官,来自6支部队,每支部队中,上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望这36名军官排成6×6的方阵,方阵的每一行,每一列的6名军官来自不同的部队并且军衔各不相同。后来,他去求教瑞士著名的大数学家欧拉。欧拉发现这是一个不可能完成的任务。

后来就演变为了数独,这是一种源自于瑞士、发展于美国、日本,风靡于全球的逻辑游戏,玩家需要根据9X9的方格中已知的数字,推理出剩余空格的数字,并满足每一行、每一列、每一个宫内的数字均包含1-9,九个数字且不重复。

数独规则简洁、玩法简单,需要考验玩家逻辑与推理能力。

常见的数独有对角线数独,*手数独等等。北京四中曾经一位高中生对数独进行分难度,而被北京大学数学系提前录取。

简单数独游戏

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