数字间的邂逅（奇妙的数字）

柳形上

来源 | 《数学文化》2013年第4卷第1期

哪里有数，哪里就有美。——普罗克勒斯（Proclus）如是说

在我们的孩提时代，就和数字相识……数的世界，看似如此的简单平常，让我们不以为然。然而经由发现的眼睛，这里的世界却是奇妙的。上学期某一次的数学文化课堂，我们曾通过两个数字：153与666来分享这样的理念——数的世界有大美在焉!

I 开篇之曲

回眸处，在远古时代人们的眼里，数或具有童真的色彩。毕达哥拉斯学派相信神用“数”创造了宇宙万物。数是万物之母，整个世界——物质的、形而上学的一切，都是建立在1，2，3，……这些数的离散模式之上的；1，2，3，……是上帝创造世界的砖块。

这是一个卓越的理念，简单而美妙。数具有魔术般的性质：音乐的和声是数的简单比例，天空中的一切都是数的各种音乐和不同的数之间的和弦。

在古希腊人眼里，每一个数可以有其独特的属性。比如数字1是数之源，代表理性；2表示变化多端的见解，它是第一个阴性数；3代表着和谐，它也是第一个阳性数；4表示公正，因为它是第一个平方数；5表示婚姻，因为它是第一个阴性数与第一个阳性数之和：2 3＝5；6代表完美，因为它是上帝创造世界的天数。

II 奇妙的圣经数

153是一个奇妙的数，它也被称作“圣经数”。之所以得此大名，或因为它有出现在《圣经》里。在《圣经•新约》约翰福音第21章里记载了这样一个故事——

话说耶稣死而复活之后，在提比哩亚的海边向7个门徒显现，当时耶稣的门徒打了一整夜的鱼，什么也没有打着。天将要亮的时候，耶稣站在岸上，但是门徒却不知道是耶稣。

耶稣对门徒说：“你们把网撒在船的右边，就必得着。”

他们便撒下网去，竟拉不上来，因为鱼甚多。当他们把网拉到岸上之后，发现网满了大鱼，共153条。

153，或许你曾许多次和它不经意间相逢。只是你并不知晓，其实它具有许多奇妙的数学性质。

（i）“圣经数”153是一个三角形数——153恰是前17个自然数的和：

（ii）153恰是前5个自然数的阶乘之和：

（iii）153还有一个奇妙的特性：

有着这一特性的数被称作水仙花数。水仙花是我国的十大名花之一，在1300多年前的唐代即有栽培，深得人们喜爱，因而有许多的别名——凌波仙子、金盏银台、洛神香妃、玉玲珑……

让我们阅读如下的数学画片——

任给一自然数，我们记

进而我们有如下的有趣发现——

水仙花数的黑洞：任给一个被3整除的自然数，对其作有限次的-映射迭代必可回归到圣经数153。其例证如下：

画外音：在所有三位数中，有着水仙花数特性的数还有370，371，407：

在众多数学人的眼里，水仙花数是指一个位数，它的每个数位上的数字的次幂之和等于它本身。借助于相关的理论分析，我们可知道，满足这一属性的数是稀有而珍贵的——只有有限多个，而最大的水仙花数不超过34位。在计算机的辅助下，我们可写出所有水仙花数。下面的表格列出了3-8位间的水仙花数。

在西方，水仙花数又有着“自恋数”的名号，此缘自一个希腊的神话故事——纳西索斯（narcissus）的哀伤。这是一个特别的故事，无关众神之间的明争暗斗，无关人间王国的王朝更替，而只是一个讲述爱上自己倒影的离奇故事：

美少年纳西索斯是河神刻菲索斯（Cephisus）与林间仙女莱里奥普（Liriope）的儿子。他的出生伴随着一个来自先知忒瑞西阿斯（Tiresias）的奇特预言。预言说，纳西索斯绝不可见到自己的倒影，否则他将死去。带着这样的一个预言，纳西索斯渐渐长大，成为全希腊最俊美的男子。无数的少女对他一见倾心，可他却无情地拒绝了所有的人。

伊可（Echo）是一个美丽的山中仙女，也是被拒绝者中的一个。伊可十分伤心，日日在幽静的山林中流泪徘徊，很快地消瘦下去，直至她的身体完全消失，只剩下忧郁而轻柔的声音在山谷中回荡。此后希腊人用伊可的名字（Echo）来表示“回声”。

纳西索斯的行为惹怒了阿尔忒弥斯（Artemis），她决定让纳西索斯去承受痛苦：爱上别人，却不能以被爱作为回报。于是有一天纳西索斯无意间看到自己在水中的倒影——一个比他以前见过的任何人都更加俊秀的少年。他疯狂地爱上了他，无数次将手伸入水中，想要拥抱水中的他，最后溺水而死。他的身体化作一朵朵晶莹剔透、出水而立的水仙花（narcissus）。顺便说一句，narcissism（自恋）这个词即源于narcissus。

III 魔鬼数666

经由数学的眼睛，666也是一个奇妙的数。这个数被称为魔鬼数。其亦有着圣经故事的背景——

666这个数字在圣经中有记载，在启示录13:18中如此写道：

"This calls for wisdom. If anyone has insight, let him calculate the number of the beast, for it is man's number. His number is 666."（“在这里有智慧：凡有聪明的，可以计算兽的数目；因为这是人的数字，他的数目是666。”）

缘何666被认为是邪恶的，不祥的数字呢?有一种说法是，因为7有着神圣、祝福、圆满、完全的意思，而666则是七缺一后重复三次，表示极不完全的意思。

不管666是否真的会带来不幸，西方人很忌讳这一魔鬼的代号或是一种文化的认同。下面流传的这个故事或多或少说明这一点：

话说美国前总统里根在卸任前打算移居洛杉矶-贝莱尔市的克劳德大街，当他得知自己未来的别墅牌号是666时，大惊失色；急忙动用总统权力让莱尔市政府将寓所号码改动……

然而，这个在圣经中被视为人间至恶的象征的魔鬼数，却有着许多奇妙的数学性质——有如圣经数153，666也是一个三角形数：

666具有如下的一些奇妙的性质：

（ii）

（iii）——666恰是前7个素数的平方和，

（iv）

（v）666方程：

（vi）魔鬼数666的奇妙还在于——

黄金比的前146位数字之和＝666:

0.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006……

圆周率

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359……

262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129511813461860645041930838879497538640449057287144771……

小数点后的前156位数字之和＝666:

1.259921049894873164767210607278228350570251464701507980081975112155299676513959483729396562436255094154310256035615665259399024040613737228459110304269355246……

小数点后的前146位数字之和＝666:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580697945193301690880003708114618675724857567562614141540670302996994509499895247881165551……

奇妙的是其小数点后前34位数字之和＝153。

IV 注释的楼阁

这个以“数字的星空”为主题的数学文化讲座，以两个数字153和666的知识和相关的人文故事的讲授来呈现数学的魅力。课堂伊始以一则其名曰“数字雷”的游戏设计展开话题，约定踩到数字之雷的同学可以和我们分享一段他或她的校园往事……缘于那天是5月31日，设计篇中的三个数字雷依次是531，153，666。

在一个半小时的讲课过程中，我们偶有互动，分享着知识的七彩……总的说来，这一主题的数学文化讲座还是蛮成功的，在课后我们做了一个简单的问卷调查，相关的数据和文字片断表明，绝大多数的同学还是很喜爱这一数学的课堂——一方面看似如许简单的数字背后竟然有着许多奇妙的数学故事，让他们感受到比较多的惊奇；一方面课堂上的学生多是文科生，相关的人文趣事自然可以极大地引起他们的共鸣……且听如下的一部分同学的文字片断：

（i）通过今天的课，对生活中的普通数字有了更深的认识，原来一些再平凡、再普通、再常用不过的数竟然有这样奇妙的内涵与奥秘在其中。而过去的我在生活中错过了太多对有趣数字的发现与了解，实在遗憾。希望老师能够为我们多讲一些如此有趣生动的课程，让我对数学有更多更进一步的热爱。

（ii）153，原本一个在数字海洋里平凡的数字，当赋予了数字的想象力，这个数字竟也有了神秘的色彩：三角形数，，以及之前我就知道的水仙花数。

666，一个看似幸运的数，在不同的国界竟也有着不同的含义……很多神奇的数字进行组合给出了我们神奇的想法。

这堂课，我学到了很多与数字有关的东西，让我产生了对数字奇妙的感受，我们要多挖掘，找出数字间更多的魅力。

（iii）课堂开篇的游戏，其实早已司空见惯，玩过多次，但摆在课堂中进行，着实是令人耳目一新的。这才发现，其实我们平时玩的很多游戏都与数学相关。之后，再由喜爱的数字引申出圣经数153和魔鬼数666，到介绍每一个数字背后的故事……都让我有一种“Wow，原来是这样的”的惊奇感，数学真的很奇妙……这一次与数字的邂逅真令人欣喜。

(iv)从未认真思考过这些数字背后有这么多神奇的故事。人文与数字的完美结合，是巧合还是必然?……以前简单地以为数字仅在数学中占有重要的地位，但其实也会与生活息息相关……当了解到数字6为计算机出错率最少的数字后觉得十分奇妙，而每一个条形码的首、中、尾处均含有代表数字6的条码，即为666。还有神奇的水仙花数与伊可相关……数字带来了无穷的乐趣。

原来数字下隐藏着这么多的秘密，在中国传统观念中“666“是个吉祥的数字，人们常说“六六大顺”，而在西方居然被称作魔鬼数，文化很奇妙……也许今天的数字介绍只是数学王国的冰山一角，但也足以震憾。

数字真奇妙！那些神秘的数字153，666……是怎样被人们发现的呢？我想这个过程必是一种“灵感”所激发的，或许这个过程本身就是上帝赋予人类的。

数字的世界，就是一个秘密花园，我们只是嬉戏其中的顽童，偶尔发现了隐藏其中的七彩石，而后为此兴奋不已。不知还有多少七彩石待我们去发现……

有数字的生活，不再是那样单调枯燥了。数＝趣味神秘。

(v)水仙花数的由来，那唯美的神话，虽然以前早早就看过了，但是今天在数学的课堂上提出它，别有一番滋味；将严肃的数学与唯美的神话结合起来，非常的美，也充分激起了我的兴趣，让我沉浸在这片神奇的数字海洋……不只153，魔鬼数字666也带给了我惊艳的感觉，那些我们平时不会注意到的数字，竟然藏了这么多的小秘密……于我来说，这是一场数字的盛宴，带给了我们很多美的享受，发现数学是如此的美。

今日的课堂让我觉得数字充满了神奇，有很多奥秘和乐趣，它是古老、神秘、精彩的，并不是那样的单一无聊。数学中拥有着很多看似巧合但实则有着必然的道理……这或许就是数学的魅力……

(vi)数学，无处不在，无孔不入，穿梭于我们生活中的每一个角落，不去探索，你永远不会知道它是有多么的令人惊奇。有人总是认为数学是枯燥无趣的，那是因为他们不懂数学之美……