题一、
解方程：(2√(x−1)−5)/(√(x 3−4√(x−1))−√(x 8−6√(x−1)))=1
分析题目
分析题目，极度复杂的根式方程，根式下面套根式，难度非常大，常规思路几乎寸步难行，仔细分析分子，发现，刚好是分母的两个根式下面代数式相减，这就好办了，直接对分子凑平方差公式，不就可以约掉分母，进而简化了整个方程，然后我们再来寻找突破口，据此分析，我们凑配分子的项次后得到，
((x 3−4√(x−1))−(x 8−6√(x−1)))/(√(x 3−4√(x−1))−√(x 8−6√(x−1)))=1，
凑配后就很明显了，分子两个项次平方差公式因式分解后刚好约掉分母，即得到，
√(x 3−4√(x−1)) √(x 8−6√(x−1))=1
此时仍然是双虫根式，但我们对两个根式下面的代数式凑根式的完全平方式，都按关于√(x−1)进行凑配，即得到，
√(x−1 4−4√(x−1)) √(x−1 9−6√(x−1))=1
可以看出，两个根式下面的代数式刚好都是完全平方式，合成后得到，
√(√(x−1)−2)² √(√(x−1)−3)²=1
根号与平方抵消掉了，带上绝对值符号，即得到，
|√(x−1)−2| |√(x−1)−3|=1
此时我们就要分情况讨论来去掉绝对值符号了，
情况一，当√(x−1)<2，平方去根号，并结合根式非负性即x≥1，很容易得到，1≤x<5
此时去掉绝对值符号，即得到2−√(x−1) 3−√(x−1)=1，整理移项后平方去根号，很容易解得解得x=5，但显然与此种情况下的范围1≤x<5矛盾，此种情况下无解，
情况二，当2≤√(x−1)≤3，平方去根号，并结合根式非负性即x≥1，很容易得到，5≤x≤10 ，此时去掉绝对值符号，即得到，√(x−1)−2 3−√(x−1)=1，根式抵消掉了，方程恒成立
情况三，当√(x−1)>3，平方去根号，并结合根式非负性即x≥1，很容易得到，x>10，此时去掉绝对值符号，即得到√(x−1)−2 √(x−1)−3=1，整理移项后平方去根号，很容易解得x=10，但显然与此种情况下的范围x>10，矛盾 ，此种情况下无解
综上，解得5≤x≤10
参考答案
题二、
解方程：(√x−2)⁴/(1 (√x−3)²) (√x−3)²=1
分析题目
分析题目，表面上看，是极其复杂的高次分式方程，难度不小，还带根式，但，根号X可以直接换元去掉根号，所以不是问题，仔细分析，发现，给等号左边的第二个项次凑个负一，刚好和第一个项次的分母构成共轭式子，不就是平方差公式，似乎可以直接去分母了，思路可行，据此我们来解题，将等号右边的常数1，移到等号左边，即得到，
(√x−2)⁴/(1 (√x−3)²) (√x−3)²−1=0
然后通分，可以看出，后两项看成一个整体，乘以分母，刚好是一个平方差公式，直接平方差公式展开即可，即得到，
((√x−2)⁴ (√x−3)⁴−1)/(1 (√x−3)²)=0
分母不可能为0，去分母后得到(√x−2)⁴ (√x−3)⁴=1，
这是一个典型的以根号x为变量的一元四次方程，两个四次项之和为常数的特殊四次方程，高效率解法就是均值换元法，即，引入两个四次项底数的均值参数p，也就是设定，
p=√x−(2 3)/2，整理得到p=√x−5/2，
则代入到上述方程中转换得到，
(p ½)⁴ (p−½)⁴=1
然后再分别展开一个二次，即得到，
(p² ¼ p)² (p² ¼−p)²=1，
此时需要化零为整看待，将p方加四分之一看成一个整体，那就是两个共轭式子的平方和，则展开后，二次项翻倍，交叉项抵消掉了，即得到，
2(p² ¼)² 2p²=1
继续展开平方项次，即得到，
2(p²)² p² ⅛ 2p²−1=0
整理成关于p²的一元二次方程的一般形式即得到，
2(p²)² 3p²−7/8=0
直接十字相乘法因式分解得到，(2p² 7/2)(p²−¼)=0
两个式子乘积为0，那只能是分别等于0，但显然第一个乘积项恒大于等于7/2，则只能是第二个乘积项=0，即有，p²−¼=0
即，解得p=±½，带回参数设定方程即得到，
√x−5/2=±½
解得x=4或9
参考答案
题三、
解方程组：
x−y √((x−y)/(x y))=20/(x y)，
x² y²=34
分析题目
分析题目，二元的根式套分式方程，那我们需要兼顾考虑消元何去根号，第二个方程较为单一，所以主要分析第一个方程，分析发现，等号两边去分母后，似乎可以凑出平方差的一元二次方程，那不就直接破题了，据此分析我们来解题，
首先，确认取值范围以避免增根，由根式的非负性可以得到，
(x−y)/(x y)≥0
显然不等号两边同时乘以X加Y的平方，不变号，即得到，
x²−y²≥0
此时，我们对原方程的第一个方程，等号两边同时乘以X加Y，去分母后得到，
(x−y √(x−y)/(x y))(x y)=20
此时，我们在对根式的分子分母约分时，需要考虑到x y的正负性，所以需要分情况讨论，
情况一：当x y<0时，则，展开等号左边的括号，前面的x-y与x y刚好是平方差公式，展开即得到，接着就是根式的分子分母约分，考虑到x y<0，则就等价于-√(x y)²约掉一个√(x y)后得到，需要补一个负号，即得到，
x²−y²−√(x²−y²)−20=0
此时我们需要化零为整，整体看待x²−y²，看成是一个关于√(x²−y²)的一元二次方程，则很容易十字相乘法因式分解得到，
(√(x²−y²) 4)(√(x²−y²)−5)=0
两个式子乘积为0，那只能是分别等于0，但考虑到第一个乘积项显然恒大于等于4，则只能第二个乘积项等于0，即有，x²−y²=25，结合原方程组的第二个方程，很容易解得，
x²=59/2，y²=9/2
再结合x y<0，则开方得到两组解，即
x=−√118/2，y=±3√2/2
情况二：当x y>0时，则，展开等号左边的括号，前面的x-y与x y刚好是平方差公式，展开即得到，接着分子分母的根式直接约掉即可，即得到
x²−y² √(x²−y²)−20=0
此时我们同样需要化零为整，整体看待x²−y²，看成是一个关于√(x²−y²)的一元二次方程，则很容易十字相乘法因式分解得到，
(√(x²−y²)−4)(√(x²−y²) 5)=0
两个式子乘积为0，那只能是分别等于0，但考虑到第二个乘积项显然恒大于等于5，则只能第一个乘积项等于0，即有，x²−y²=16
结合原方程组的第二个方程，很容易解得，
x²=25，y²=9
再结合x y>0，则开方得到两组解，即x=5，y=±3
综上，方程有四组解
(x，y)=(−√118/2，±3√2/2)或(5，±3)
参考答案
