本文为“2023年第五届数学文化征文活动
《龟兔赛跑》寓言故事的数学教育哲学阐释
作者 : 胡吉振、施加平、金菲菲
作品编号：002
摘要：古希腊《伊索寓言》中的“龟兔赛跑”的故事从概率与统计的角度来讲，虽然偶然一次乌龟在跑步中超过了兔子，但是这并不能反映兔子普遍比乌龟跑得快的这一本质，而“龟兔赛跑”的故事却严重的扭曲了这一本质；从柏拉图理念论的角度来讲，乌龟在跑步上没有兔子的速度快，这是理念世界的真理，普通人都这样认为，但是“龟兔赛跑”故事中的乌龟跑步超过了兔子也仅仅是感觉世界中的现象，我们不能也不应该被感觉现象所迷惑而忘记理念世界中普遍性、必然性的规律才是事物的本质属性。龟兔赛跑的寓言故事在一定程度上混淆了必然性与偶然性的关系，颠倒了本质与现象的关系，因此是不值得学习的，其教育意义是缺失的，如何避免类似现象的发生，这就需要学生好好学习概率与统计为代表的的数学科学知识，真正的把这个世界看得清清楚楚，明明白白。
关键词：龟兔赛跑；现象与本质；必然与偶然；理念论；概率与统计
一、问题提出
伊索（约前620年—前560年），古希腊著名的哲学家、文学家，与克雷洛夫、拉•封丹和莱辛并称世界四大寓言家。他做过萨摩斯岛雅德蒙家的奴隶，并被转卖多次，但因知识渊博，聪颖过人，最后获得自由，但是最后被*。公元前5世纪末，“伊索”这个名字已是古希腊人尽皆知的了。龟兔赛跑是他现存的《伊索寓言》里的故事，从这个故事也能让我们体会到伊索作为一个奴隶的反叛精神。《龟兔赛跑》主要讲述的是兔子和乌龟赛跑，兔子嘲笑乌龟的步子爬的慢，乌龟坚定地说总有一天它会赢。兔子说，那我们现在就开始比赛。于是乌龟拼命地爬。而兔子认为赢过乌龟太轻松了，决定先打个盹，再追上乌龟。乌龟一刻不停地努力向前爬，当兔子醒来的时候，乌龟已经到达了终点。这则寓言通常的寓意是：告诉我们不要轻视他人，同时，稳扎稳打定能获得胜利。笔者认为，这个寓意太平淡无味，仅仅停留在龟兔赛跑的现象层面，没有深入地剖析龟兔赛跑的数学教育哲学根源。在中小学教育教学中，让学生思考其中的寓意，不同的学生对这个寓言故事的寓意的理解可能是不同的，寓意也不应该是固定的唯一的绝对的真理，寓意是可以也必须与时俱进的或者说寓意应该是开放性的而不是封闭的。有学者强调龟兔赛跑是数学上的一个追赶问题[1][2]；也有学者把龟兔赛跑诠释为抽象代数或近世代数中的“群”理论[3]；也有学者从哲学角度进行分析，虽然涉及到了柏拉图的理念论[4]，但是过于宽泛；也有学者从管理学的角度论证这个问题[5]。长期以来龟兔赛跑的故事主要从作为文学或语文或人文科学或管理学等方面去挖掘其内涵和意义的，虽然也有从数学方面挖掘其内涵和意义的，但是过于微观具体，缺乏抽象性。按照哲学诠释学的观点来讲，作家一旦把作品创造出来，作家对作品的解释与读者对作品的解释是平等的，因而作家对自己的作品的解释就没有权威性；另外一方面，哲学诠释学强调文本或传承物意义的无穷性，解释的多元性[6]xi。从这个角度来讲，后人对寓言故事的解释由于秉承不同的思想观点而有不同的解释——也就是解释的多元性。笔者就试图从以下这两个角度进行论证龟兔赛跑；从哲学——柏拉图的理念论的视角和数学——概率与统计的视角来分析龟兔赛跑问题的本质，这两个视角也可以说是数学教育哲学的视角。
二、两种视角剖析龟兔赛跑数学哲学思想
笔者从探索真理的角度来对龟兔赛跑进行解析，主要从以下两个方面进行展开，一个方面是从哲学——主要是从古希腊哲学家柏拉图的理念论的角度进行论证；另一个方面主要是从概率与统计的角度来论证，前一方面主要揭示龟兔赛跑的故事颠倒了本质与现象的关系；后一方面揭示了龟兔赛跑的故事混淆了必然性和偶然性的关系，从这两方面也可以粗略的看出龟兔赛跑对追求真理是具有消极影响的。
1.柏拉图理念论的视角：现象与本质
乌龟在理论上讲肯定比兔子跑得慢，即使在具体的情境实践虽然可能偏离理论，但是一般情况下乌龟在长跑中是不能超过兔子的。事实上我们知道理论是一种理想化的模型或普遍性的规律，而与现实实际情况肯定是有差距的，一般而言差距不是太大，但是在龟兔赛跑的寓言故事中的偏差大得太多了，甚至大得让人感觉不可思议，但是我们可以用古希腊哲学家柏拉图的理念论的观点来分析并解释这种现象。古希腊哲学家柏拉图的理念论认为，可感事物正是通过“模仿”或“分有”理念而获得其实在性的，由于万事万物都有自己的理念，因此各种理念就构成了一个等级分明的“理念世界”[7]48。可感事物所处的世界是一个感觉世界或我们生活的世俗的世界，在这个世俗的世界是一个一切皆流，一切皆变的世界，人们看到的仅仅是事物的现象，而不能反映事物的本质，但是在理念世界中由于能够反映事物的本质，因此在理念世界中存在真理或知识。用古希腊哲学家柏拉图的理念论来讲，就是理想或理论是理念世界的真理，而现实实践活动仅仅是理念世界的真理的临摹，是远离真理的，现实实践活动是不能完全的反映理想或真理的，仅仅是粗略的大致的反映真理而已，而且在极端的情况下也会产生误差的，甚至这个误差很大，龟兔赛跑就反映了这样一个事实。这个龟兔赛跑的故事最后虽然乌龟胜利了，但是这个龟兔赛跑按照柏拉图理念论的观点来讲是发生在现象世界中的比赛，而不是发生在理念世界中的。人们生活的世界是一个迁流不止的世界，在一切皆变化，一切皆流动的世界，虽然乌龟先达到了终点，但是这是现象，这不是本质，这不能说明或不能反映乌龟比兔子跑得快这一本质。如果让古希腊另一位哲学家、诡辩学家、巴门尼德的弟子芝诺看到乌龟在赛跑中能超过兔子，他肯定也是不承认的，他肯定与大哲学家柏拉图的观点是一样的，说这是现象，而不是本质，他秉承的观点应该与他的悖论“阿基里斯追乌龟”[8]30中的观点是很类似的，他肯定说古希腊长跑冠军“阿基里斯追不上乌龟”，既然在龟兔赛跑中的兔子跑过了一段距离，芝诺同样肯定不会承认乌龟能超过兔子跑过的这段距离。芝诺在这个问题上肯定要秉承了柏拉图的理念论的思想（从出生日期的角度讲，芝诺出生日期比柏拉图出生日期还要早一些），因为他与柏拉图在传统文化上是一脉相承的。因此从柏拉图理念论的角度来讲，龟兔赛跑这个故事颠倒了事物的现象与本质。本质就是乌龟没有兔子跑得快，虽然在龟兔赛跑中故事中乌龟先到达了终点，但是这仅仅是现象，而不是柏拉图理念世界的真理，而且这个故事发生在感觉的世界，不能把这一感觉世界中发生的现象上升到真理的高度。我们虽然有“透过或通过现象看本质”的观点，但是这个龟兔赛跑的故事现象不仅不能反映本质，而且在很大程度上混淆了本质与现象的区别，把乌龟在赛跑中获胜这一现象当作了本质，因此所犯的错误就是混淆了事物的本质与现象。
2.概率与统计的视角：偶然与必然
我们再深入地继续追问，为什么龟兔赛跑的寓言故事这个现象没有反映兔子在跑步上能超过乌龟这个本质，而是与这个本质相反呢？其实这就是偶然性与必然性的关系，虽然这一次乌龟在赛跑中超过了兔子，但是它们俩到底谁跑得快包括读者都心知肚明，乌龟在水中游泳可以超过兔子，在陆地上跑步乌龟绝对不是兔子的对手。在概率与统计上，小概率事件是随机现象，是不能当真理的，具有偶然性或或然性而不能反映事物的本质。兔子与乌龟赛跑而输给乌龟就是属于偶然性的事件，是不具有普遍规律性的，是不能反映事物必然性规律的例子。在概率与统计上的小概率事件，是不能把一次实践活动的结果当真理的。个例不能当真理，个例仅仅是一种现象，而不是事物发展的普遍规律，从这个意义上讲，乌龟在跑步的比赛中虽然胜利了，但是我们也应该看到事物的本质，而不是铁的事实或现象，我们在观念上仍然要坚持一般普遍的规律，这个一般普遍的规律就是兔子比乌龟跑得快这一事物的本质。如果乌龟与兔子再多跑几次，从概率与统计中的大数定律的角度来讲[9]201，乌龟在跑步比赛中肯定不会超过兔子，从这个意义上讲，我们就不应该一叶障目不见泰山。从博弈论的角度来讲，一次博弈或一锤子买卖双方都可能产生欺诈行为，市场规则虽然是不允许的，但是也是避免不了的，但是一锤子买卖不公平，就像乌龟与兔子赛跑一样，仅仅比赛一次就分输赢也不是太科学。从生物学的视角分析乌龟与兔子的身体结构也能分析出来乌龟跑不过兔子。所以说我们不能因为一次偶然因素兔子没有跑过乌龟就承认兔子永远跑不过乌龟，这不是概率与统计中的确定性或必然性现象，而仅仅是概率与统计中的随机现象或小概率现象或偶然现象。联系现实生活实际，在法律上人们经常讲的“以法律为准绳，以事实为依据”其实后半句是有问题的。事实是什么？事实是现象，而不是事物的本质，事实有时候说明不了什么问题。从这个龟兔赛跑的寓言故事的角度来讲，你就不能说在一般情况下乌龟比兔子跑得快；否则从这个事实得到的结论就是错的，就是违背人类对事物的认知规律的，那么用什么为依据才不是错的呢？其实以概率与统计中的大数定律为依据或以数据频率多少为依据是比较客观的，数据或大数定律基本上反映了事物发展的本质规律，而且具有更为广泛的普遍性，才是人们可以信任的真理。另外，龟兔赛跑的寓言故事文中有句话是“当兔子醒来的时候，乌龟已经到达了终点”，这句话说明了龟兔赛跑是具有随机性，也许是兔子醒来的时候，乌龟还没有跑到终点，甚至还在兔子的后方，这些情况也是可能存在的，这就又一次说明了在龟兔赛跑中，乌龟是侥幸——破天荒的获胜的，具有很强的随机性，不是自己能力的超长发挥，而是兔子的麻痹大意造成的。总之，个例不能当真理，真理至少的一个性质就是普遍有效性。因此从统计学概率的角度来讲，在龟兔赛跑中不能把偶然性当作必然性来看待。
三、教育的启示
本文从两个视角来探讨龟兔赛跑的数学教育哲学原理，首先从柏拉图理念论的视角说明了乌龟在跑步上远远的超不过兔子，这就是理念世界的真理。龟兔赛跑故事中的乌龟虽然超过了兔子，但是这仅仅是感觉或世俗世界中的现象，而不是事物的本质；其次从概率与统计学的角度来讲，故事中乌龟与兔子赛跑中虽然最后胜利了，但是这仅仅是个例，仅仅是小概率事件，是不能当真理的，而且具有很强的偶然性，决定事物本质的不是事物发展的偶然性，而是事物发展的必然性，偶然性不能够反映事物的本质，我们应该从概率与统计的角度来揭示事物的本质才是比较可靠的方法。笔者不否认龟兔赛跑积极的意义，其实这个龟兔赛跑的故事消极意义也是很明显的。从以上分析可以看出龟兔赛跑扭曲了真理和歪曲了事实，混淆了事物的现象与本质。明明兔子比乌龟跑得快，但是总是找个理由说乌龟与兔子比赛是乌龟赢了，另外消极的一方面是把个例当真理，特殊性夸大为普遍性，小概率事件成为了输赢的关键，把现象夸大成本质。
其实在自然界、人类社会中有很多类似于“龟兔赛跑”的随机事件，甚至是小概率事件，但是很多人总是把这些随机事件当做确定性或必然事件来看待的，例如“以不变应万变”这句俗语其实是做不到的，“不变”是确定性，“万变”是随机性，显然前者是“一”，后者是“多”，以“一”是无法应付“多”的，以确定性经验或知识来预测随机性事件，也是不可能的。人类古代的“占星术”或“占卜”，甚至在中国古代历史上流传深远的“算卦”“抽签”之类的社会现象，其实也是不可信的，这种社会现象也是用已经过去的随机事件或确定性的事件来推测未来的随机事件，当然也是不一定能够实现的。我们更应该“以万变应万变”的精神面对未来。因此在教育中我们也要对龟兔赛跑这个问题弘扬其积极的一方面，回避消极的一方面，以此来更好地服务我们今天的中小学教育教学。当然龟兔赛跑的寓言故事之所以如此被人们津津乐道，而是因为这个故事比较好玩，甚至比较荒诞不经，而能够引起更多人的关注而已。另外在教育教学中要秉承后现代主义的哲学理念——解释多元化，允许学生有不同的寓意解释，即使学生的寓意解释与传统的寓意不同相同也不能说是错的，也就是说寓言故事的寓意的问题最好是一个开放性的问题，而不应该讲成是一个绝对的、唯一的真理，寓言的寓意也应该有与时俱进的一方面。在自然界或人类社会存在“龟兔赛跑”的现象说明了在二千多年前伊索的时代人类对随机现象的认识还是比较肤浅的，甚至是无知的（事实上也是如此。从数学史的角度来讲，统计与概率这门学科起源于16世纪欧洲数学家帕斯卡、费尔马、惠更斯等数学家的研究，也就是说概率与统计这门课起源于近代人类社会，在古代是没有这样一门学科的），因此为避免类似现象的发生，我们要鼓励学生好好学习概率与统计方面的知识，并把所学的概率与统计方面的知识应用到现实生活中，以此来解决或解释现实生活中的关于概率与统计方面的现象。
参考文献：
[1]刘书宁.龟兔赛跑数学版[J].数学小灵通(5-6年级版),2019(Z2):59-61.
[2]宋文宝.“龟兔赛跑”引发的函数问题[J].初中生学习指导,2019(02):18-19.
[3]袁合才,赵寄萍.“龟兔赛跑”新解的群论释义[J].数学教学通讯,2012(03):64
[4]朱志宇.龟兔赛跑蕴含的四重哲学境界[J].文化学刊,2020(05):64-69.
[5]刘承元.为什么乌龟能在赛跑中成为赢家?[J].企业管理,2019(08):20-21.
[6][德]汉斯-格奥尔格•伽达默尔著．诠释学I：真理与方法(修订译本)[M].洪汉鼎,译.北京：商务印书馆,2019.
[7]邓晓芒,赵林著.西方哲学史（修订版）[M].北京：高等教育出版社,2014.
[8][美]莫里斯•克莱因著.古今数学思想(第一册)[M].张理京,张锦炎,江泽涵等译. 上海:上海科学技术出版社,2014.
[9]魏宗舒编.概率与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2008.
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