轨迹跟踪分为横向跟踪和纵向跟踪。横向跟踪是指控制车辆的转向，而纵向跟踪则是控制智能车辆的速度，以达到预定的速度目标。本研究仅专注于智能车辆的横向控制方面。
在假设车辆行驶速度不变的前提下，根据模型预测控制原理，设计智能车辆换道横向跟踪控制器。首先建立预测模型，对非线性模型进行线性化和离散化处理，并确定约束条件。最后，利用Matlab/Simulink和Carsim软件进行仿真实验，以验证控制器的跟踪效果。
一、模型预测控制原理模型预测控制在现代复杂的控制系统中被广泛应用。不受系统复杂程度和结构的影响，该方法适用于所有可被描述的系统模型。相比传统的PID等控制算法，模型预测控制算法具有更大的优势，能够实现更高的控制精度。然而，对于复杂系统来说，计算量较大，需要强大的控制处理单元。
模型预测控制的原理是基于系统模型当前的状态量去预测未来时刻系统的状态量。通过建立目标函数，在预测的状态量中根据相关约束条件寻找最佳状态量，并得到相应的控制量。然后将控制量作用于当前时刻的系统，循环进行以上步骤。
这就是模型预测控制的原理。预测模型是控制系统的关键，只有建立了预测模型，才能进行未来状态的预测。模型预测控制具有滚动优化的特点，它需要选择未来时刻的最优状态量来优化系统。通过滚动优化，实时更新系统的状态量，选择最优状态。知道系统未来时刻的最优状态量后，就可以得到当前时刻的控制量，将其输入系统，更新当前时刻的状态，并进入下一轮预测优化。
图1展示了模型预测控制的示意图。由于需要对未来时刻进行预测，因此需要已知各个时刻状态的参考轨迹yr。在当前时刻k，系统对未来控制时域tp进行预测，得到预测时域内的系统状态量和控制时域内的系统控制量。
在满足与参考轨迹偏差等相关约束条件的前提下，选择最优控制量作为当前时刻系统的输入。通过这一过程，实现了完整的控制过程。系统反复进行以上操作，对整个系统进行控制。
（图1MPC控制原理示意图）
根据上述的原理示意图，我们可以对模型预测控制有一个初步的了解。在图2中展示了模型预测控制应用于系统的框图。系统作为被控制的平台，根据自身的模型向控制器输出自身的状态信息。
控制器根据当前时刻系统的状态进行预测，并通过设计的目标函数和相关约束条件进行求解，以获取最优的控制量。然后，控制器将最优的控制量输出给被控制的平台，从而得到系统的最新状态。这个过程不断重复，对系统进行持续的控制。
（图2MPC控制原理框架图）
二、预测模型的搭建车辆自身的模型可以通过动力学模型和运动学模型来描述。运动学模型是基于车辆的几何学研究，它相对简单，可以描述车辆的运动状态，但没有考虑到车辆复杂的动力学内容。
为了更准确地描述车辆在轨迹跟踪时的真实状态，本文使用基于三自由度车辆单轨模型的模型预测控制预测模型。在建立预测模型时，对车辆做出以下假设：
1.将车辆和悬架系统视为刚性，忽略悬架运动及其对耦合关系的影响。
2.只考虑纯侧偏轮胎的特性，忽略轮胎力在横向和纵向之间的耦合关系。
3.忽略车辆在横向和纵向上受到的空气动力学影响。
4.假设车辆为前轮转向，且左右轮的转角相同，后轮不进行转向。
5.忽略车辆行驶时俯仰和侧倾对系统的影响。
6.建立单轨三自由度（横摆、纵向和横向）的车辆动力学模型。
通过以上假设，我们能够建立一个较为简化但仍具有一定准确性的车辆模型，用于进行模型预测控制的预测过程。
（图3车辆3自由度动力学模型）
图3展示了车辆单轨模型，该模型基于大地坐标系XOY，在其基础上建立了车辆自身的坐标系xoy。根据牛顿第二定律，我们分别建立了车辆在纵向、横向和横摆三个自由度上的模型：
（公式1）
本文相关式子推导的变量符号的含义见表1
（表1变量符号及含义）
车辆坐标系下，车辆轮胎受到的分力和侧向、纵向力之间的存在如下关系：
（公式2）
其中，轮胎的纵向力、侧向力与轮胎侧偏角、滑移率、路面摩擦等系数有关，该函数关系较复杂如下式子：
（公式3）
车辆单轨模型的前、后轮轮胎侧偏角ia可以根据轮胎的横向和纵向速度的比值三角函数关系求出，如公式2所示
（公式4）
车辆轮胎的横向和纵向速度不能根据车载传感器直接得到，可以根据坐标系方向速度和前后轮胎侧偏角根据公式5进行求解：
（公式5）
其中坐标系方向的速度可以直接推导：
（公式6）
轮胎的滑移率则通过下式子得到：
（公式7）
对于垂直载荷的计算，需要假设车辆在低速的情况下行驶，从而可以忽略载荷的转移从而可通过式8计算垂直载荷。
（公式8）
将车辆坐标系和大地坐标系进行坐标转换，与上述式子进行联立得到车辆单轨动力学模型：
（公式9）
根据上述建立的动力学模型，我们可以直接获取车辆自身的相关参数信息以及给定路况下的路面摩擦系数。然而，滑移率相对难以获取，因为滑移率对车辆行驶时的影响很难通过推导函数关系来得到。因此，我们假设在车辆行驶时防抱死系统正常工作，滑移率始终保持在最优状态量。这种假设在一定程度上简化了动力学模型。我们将车辆系统表示为状态空间表达式：
（公式10）
系统的状态量可以表示为ξ=[y,x,Y,X,ϕ,ϕ'],控制量为u=[δf],其中车辆后轮转角被视为0，δf为前轮转角的输入量。输出量为η=[ϕ,Y]，表示系统经过输出车辆横摆角变化和侧向位移。为了更直观地表示系统的输入量，我们也可以将方向盘转向作为控制量。
尽管我们获得了车辆的动力学模型，但将其与魔术轮胎模型结合起来会导致模型变得复杂，不利于后续的分析。因此，在这里我们假设侧偏角和纵向滑移率较小，以便将轮胎受到的力线性化表示：
（公式11）
同时对于三角函数值全部取近似值如下：
（公式12）
可以得到前后轮的侧偏角：
（公式13）
即：
（公式14）
从而车辆的前后轮侧向力可以表示为：
（公式15）
（公式16）
根据所表示的轮胎侧向力，代入式22中，得到了简化后的车辆非线性模型如下：
（公式17）
该车辆动力学系统的状态量可以表示为：
ξ=[y,x,Y,X,ϕ,ϕ']
控制量为：
u=[δ,f]
其中，y表示侧向位移，x表示纵向位移，Y表示侧向速度，X表示纵向速度，ϕ表示车辆横摆角，ϕ'表示车辆横摆角速度。控制量包括方向盘转角δ和前轮转角f。
三、非线性预测模型线性化在前面的部分，我们得到了非线性的预测模型。然而，当将非线性系统作为预测模型时，会涉及到处理多个状态约束和高阶状态方程，这增加了问题的求解复杂度，甚至可能导致求解失败。为了解决这个问题，最好的方法是对非线性模型进行线性化处理。本文的目标是实现换道轨迹的跟踪控制，为了确保控制的实时性、稳定性和计算的简化，我们对车辆的动力学模型进行了线性化处理。
线性化方法主要分为两种：利用泰勒展开进行近似线性化和基于微分几何的精确线性化。尽管精确线性化能够对非线性系统进行准确的线性化操作，但其适用范围有限。而近似线性化方法具有较广泛的适用性。在模型预测控制中，通常采用泰勒展开对非线性系统进行近似线性化处理，得到只包含一阶项的展开式：
（公式18）
（公式19）
（公式20）
在新的状态方程中，状态量被定义为当前时刻状态量与任意时刻状态量之间的差异，而控制量则是当前时刻控制量与任意时刻控制量之间的差异。由于系统是连续的，我们需要将其离散化，以便在模型预测控制中使用。因此，系统经过离散化后的状态方程可以表示为：
（公式21）
在上述方程中，T代表采样周期，I代表单位矩阵。通过对系统进行线性化和离散化处理后，得到了系统的状态空间表达式：
（公式22）
于是对车辆单轨动力学模型先进行线性化处理上，则预测模型变为线性时变方程：
（公式23）
式中：
（公式24）
其中：
（公式25）
接着对公式23进行离散化，离散化后得到如下式子：
（公式26）
在上述方程中，T代表采样时间，I是6阶单位矩阵，ko和d表示在线性化和离散化过程中系统产生的偏差量，ξo(k)是输入下系统的状态量。通过对车辆单轨动力学模型进行线性化和离散化处理，得到了完整的预测模型。然而，这个预测模型还没有考虑到车辆所具有的相关约束，因此需要建立预测模型的相关约束条件。
四、预测模型的约束优化求解在确定预测模型的约束条件时，我们将式子27中的控制量替换为控制增量，这样可以更精确地对控制量进行约束。状态量可以表示为：
（公式27）
则转化后的车辆单轨动力学状态空间量表达：
（公式28）
式中：
（公式29）
同时对Aik,，Bik,设定为在采样时刻预测时域内为定值：
（公式30）
得到系统最后的状态空间表达式：
（公式31）
通过分析公式(31)，我们可以得知在系统的当前采样时刻，可以利用状态量ξ(k)来预测未来时刻的系统状态。下面是对预测时域内系统状态量的推导：
（计算式1）
式中，k表示当前时刻，k 1表示下一个时刻的预测值，Np表示预测时域的长度，Nc表示控制时域的长度。除了系统的状态量，系统的输出量也可以进行预测：
（计算式2）
将预测时域内的输出量、线性偏差量，控制时域内控制量进行如下定义：
（公式32）
得到了离散化后的预测方程如下
（公式33）
（公式34）
（公式35）
本文假设在车辆换道过程中，纵向速度保持不变，因此在控制时域内系统的纵向速度也不会改变。然而，系统的控制增量需要进行计算。在设计求解控制增量的目标函数时，需要考虑轨迹跟踪效果，即尽可能使跟踪轨迹与参考轨迹重合。此外，相邻采样时刻内的控制增量变化应保持较小。因此，本文采用以下目标函数进行求解：
（公式36）
Q和R是控制偏差和控制增量的权重矩阵。目标函数的第一部分旨在优化轨迹跟踪效果，使得实际轨迹与参考轨迹尽可能接近。第二部分则关注控制增量的平滑性，以确保相邻时刻的控制增量变化不会过大。第三部分的目的是避免出现无效的控制量，保证求解得到的控制量在系统中具有实际意义。
（1）对于状态空间中的控制量、控制增量和输出量，具有以下约束条件：
（2）关于质心侧偏角的约束，考虑到其对车辆行驶的重要性，我们需要设置以下约束条件：
（公式37）
（3）轮胎侧偏角的约束。在前文假设了前轮的侧偏角较小因此需要对其进行约束。
（公式38）
于是得到了带有约束条件的完成的目标函数：
（公式39）
五、换道轨迹跟踪仿真实验验证为了验证设计的控制算法的有效性，我们进行了仿真实验，并利用Carsim软件和Simulink仿真环境进行联合仿真。在Simulink中建立了控制框架，并使用S函数编写了控制算法。同时，在Carsim软件中建立了车辆动力学模型，并实现了换道过程的可视化。Carsim软件提供了直观的图形用户界面，可以方便地设置和调整车辆参数，简化了车辆建模的过程。此外，Carsim还支持与第三方软件进行联合仿真，并提供了车辆仿真可视化功能。在本文中，我们搭建了轨迹跟踪的仿真模型，如图4所示，控制算法以S函数的形式进行编写。在已知参考轨迹的情况下，我们验证了模型预测控制器对参考轨迹的跟踪效果。
（图4轨迹跟踪仿真）
在仿真实验中，我们首先进行了双移线轨迹的仿真工况，双移线轨迹描述了车辆纵向位移与横向位置和航向角之间的关系。具体的数学表达式如下：
（公式40）
通过进行双移线轨迹的仿真实验，我们可以观察到车辆在不同车速下的轨迹跟踪效果。我们设置了两种不同的车速，分别为36km/h和54km/h，并绘制了相应的跟踪效果图，如图5所示。
从图中观察到，在36km/h和54km/h的车速下，车辆都能够较好地跟踪参考轨迹。尤其在低速情况下，车辆的跟踪效果更好，实际轨迹与参考轨迹更加接近。在直线路段上，车辆的跟踪效果最佳，偏差最小。尽管在弯道部分会出现较大的偏差，但整体偏差仍然在允许范围内。
图中（b）展示了车辆航向角随时间的变化情况。我们可以观察到，车辆的航向角整体上小于参考航向角，并且存在一定的滞后性。在曲率较大的弯道处，车辆的航向角偏差较大，而在低速情况下，车辆的航向角更接近参考值。
此外，图中（c）展示了车辆前轮转角随时间的变化情况。我们可以观察到，随着车速的增加，车辆的前轮转角变化量也增大。
通过对图像的分析，我们可以得出在不同车速下产生的偏差仍然在可控范围内，说明控制器的轨迹跟踪效果较好。
（图5不同速度下双移线跟踪效果）
在跟踪换道轨迹时，我们规划的轨迹是在车速为54km/h，换道时间为5秒的情况下得到的。实际车辆跟踪效果如图6所示。从图中可以观察到，在换道的前半段，车辆的跟踪效果非常好，与参考轨迹非常接近。在换道轨迹回正阶段，车辆出现了一定范围内的偏差。
通过分析图中的航向角变化情况（图(b)），我们可以发现实际航向角与参考航向角之间的偏差非常小，基本符合换道时航向角的变化规律。在换道结束时，存在一个0.33度的偏差，但可以忽略不计。因此，在54km/h的车速下，控制器的跟踪效果良好。
（图654km/h换道轨迹跟踪效果）
在图7中展示了车辆保持在72km/h时进行换道轨迹跟踪的效果。换道时间为5秒。在图中，（a）所示的换道轨迹较长，由于曲率较低且换道轨迹较平缓，因此车辆的实际跟踪效果比速度为54km/h时的更好。
实际轨迹与参考轨迹更加贴合，而且图中（b）所示的航向角也更接近参考航向角。从图8中的前轮转角对比可以看出，跟踪平缓的轨迹会使车辆的轨迹跟踪效果更好。
（图772km/h换道轨迹跟踪效果）
（图8不同速度下前轮转角变化）
图9展示了车辆保持不变的速度，换道时间减少到4秒时的换道轨迹跟踪情况。由于换道时间的减少，换道轨迹的长度也相应减小。当车速为54km/h时，轨迹跟踪效果相对于换道时间为5秒时的效果稍差，尤其是在换道轨迹的后半段出现较大的偏差。
航向角的变化量也增大，但与参考航向角的误差仍在可接受范围内。总体而言，轨迹跟踪效果仍然良好。
（图954km/h换道轨迹跟踪效果）
在车速为72km/h时，轨迹跟踪效果稍差于换道时间为5秒时的跟踪效果，但仍优于速度为54km/h时的换道效果。从图（c）中的前轮转角可以看出，轨迹曲率变化越大，跟踪误差也越大。
而图（b）中航向角的变化量较小，基本上紧随参考航向角的变化，最后时刻航向角的偏差不到0.5度，误差非常小可以忽略不计。这说明控制器在不同车速下的跟踪效果都符合预期。仿真结果表明控制器在轨迹跟踪性能方面表现良好。
（图1072km/h换道轨迹跟踪效果）
（图11不同速度下前轮转角变化）
总结在本文中，我们基于模型预测控制原理设计了智能车辆的轨迹跟踪控制器。首先，我们简要介绍了模型预测控制原理，并将简化的车辆单轨动力学模型作为预测模型。由于预测模型的非线性特性，在模型预测控制中具有较高的复杂性和较低的实时性。因此，我们采用近似线性化的方法对非线性模型进行处理，通过一阶差分的方法将连续时变的预测模型离散化，从而得到离散化的车辆状态空间方程。
接着，我们将建立的优化目标函数转化为二次型的形式，并在满足约束条件的情况下应用二次规划进行求解。
最后，我们在Carsim和Matlab/Simulink软件中进行联合实验仿真，对双移线道路和基于五阶贝塞尔曲线的换道轨迹进行了仿真跟踪实验。我们设置了不同的仿真工况，以验证本文设计的轨迹跟踪控制器的有效性。
