lim(x→0) ln(1+x) = 0
这个公式表示当自变量x趋近于0时，ln(1+x)的极限值为0。这个公式可以通过泰勒展开来推导。
ln(1+x)的泰勒展开式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
当x趋近于0时，高阶项的幂次越高，其值越小，可以忽略不计。因此，当x趋近于0时，ln(1+x)可以近似为x。
所以，当x趋近于0时，ln(1+x)的极限值为0。这个极限公式在数学和物理等领域中经常被使用。
$$lim_{x o0}frac{ln(x)}{x}=1$$
这个公式可以通过泰勒级数展开来证明。首先，我们可以将ln函数表示为：
$$ln(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{x^n-1}{n!}$$
然后，我们将x替换为0,得到：
$$lim_{x o0}frac{x^n-1}{n!}=lim_{x o0}frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$
接下来，我们对两边取极限，得到：
$$lim_{x o0}frac{x^n-1}{n!}=lim_{x o0}frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=lim_{x o0}frac{e^{nx+1}}{(n+1)!}$$
由于指数函数$e^x$在$x=0$处有定义，所以我们可以将其代入上式，得到：
$$lim_{x o0}frac{e^{nx+1}}{(n+1)!}=lim_{x o0}frac{e^{nx+1}}{(n+1)!}=lim_{x o0}frac{e^{nx}}{(n+1)!}$$
现在，我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。根据洛必达法则，当$x$趋近于0时，$frac{e^x}{x}$的极限等于$lim_{x o0}frac{e^x}{x}=e^0=1$,因此：
$$lim_{x o0}frac{e^{nx}}{(n+1)!}=1$$
最后，我们将$n$替换为$-1$,得到：
$$lim_{x o0}frac{ln(x)}{x}=1$$<br/>
