第100回
蓬莱仙阁,观音菩萨出难题
破译密码,师徒四人上天界
上回说到观音菩萨建议以抢答方式进行喝酒得到大家的赞同,她指着眼前的餐桌说:"我出的题都跟这餐桌有关,它事实上就是如图1的两个同心圆中,大圆的十二条弦把大圆二十四等分,且每条弦都与小圆相切。想必大家都清楚了吧?那好,第一题:请问这大圆上的每条弦所对的圆心角是多少度?"
"八戒,你是第一个敲响杯子的,你来回答。"
"是我吗?"八戒有点懵了的感觉说,"让我想一想……"
"大家注意了,每道题的回答时间限时三分钟。"菩萨补充说,"大家要想好了再抢。"
"大圆的一条弦所对的劣弧是由7条相等的弧组成的,每条弧是大圆的二十四分之一,为15°,7×15°=105°,所以大圆的每条弦所对的圆心角为105°."
"恭喜八戒答对了,喝酒你随意,其他人各饮三杯。"菩萨说,"请听第二题:已知大圆的弦长为2米,请问圆环的面积是多少平方米?"
"何仙姑,你来回答。"
"答案可以用近似值吗?"何仙姑问道。
"不可以,用准确值回答。"菩萨再次补充说,"接下去的问题答案一律用准确值回答。"
"准确值是л平方米。"
"回答正确。"菩萨问,"你是如何算出来的?"
"这还不简单吗?"何仙姑说,"设大圆的弦AB切小圆于点C,圆心为O,连接OA、OC(如图2),则AC=1米,OC⊥AB,由勾股定理,得:OA2-OC2=AC2=1。
又圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积
=л·OA2-л·OC2=л(OA2-OC2)= л×1=л(平方米)。"
何仙姑的回答赢得了热烈的掌声,大家自觉地按规矩喝了该喝的酒。
"最后一题:转盘(小圆)的半径是多少?"菩萨问题提出后又马上强调说,"答案不能用三角函数表示。"
"八戒,你知道答案了吗?"片刻后,八戒正要敲响杯子被悟空及时制止。
"AC=1米,根据小圆的半径OC与AC的比等于tan∠OAC不就可以得到OC=tan∠OAC吗?"八戒说,
"而∠OAC=90°-∠AOC=90°-52.5°=37.5°,
所以小圆的半径不就是tan37.5°的值吗?"
"那你知道tan37.5°等于多少吗?"悟空嗔怪道,"不知道瞎抢啥呢?"
又过了片刻还是无人抢答。
"唐玄奘,看来得你这个老蒋出马了。"
"阿弥陀佛!"唐僧说,"让贫僧试试吧:
37.5°角是75°角的一半,把37.5°扩大成75°,再根据经验把75°分为30°和45°.
把图2中的△OAC分离出来到如图3,延长OC到D,使CD=CO,连接AD。则AD=AO,∠OAD=75°,∠ADO=∠O=52.5°。
接下来把75°的这个∠OAD分成30°和45°两个角。
作∠ADE=45°,DE交AO于E,交AC于F。
作AG⊥DE于G。则∠AEG=60°,∠EAG=30°。
设OC=CD=x,AO=AD=y,则直角三角形边角关系,得
AG=DG=y/√2,
EG=AG/√3=y/√6,
AE=2EG=2y/√6,
所以AE/AO=2y/√6:y=2/√6。
设CF=a,GF=b,则AF=1-a,DF=y/√2-b,EF=y/√6 b,
由△AGF∽△DCF,得
AG/DC=GF/CF=AF/DF,
所以y/√2:x=b/a=(1-a)/(y/√2-b),
即y/(√2x) =b/a=(√2-√2a)/(y-√2b),
设y/(√2x)=b/a=(√2-√2a)/(y-√2b)=k,则y=√2kx,b=ka,
代入(√2-√2a)/(y-√2b) =k,得
(√2-√a)/( √2kx-√2ka) =k,整理,得
√2(1-a)/[ √2k(x-a)] =k,即(1-a)/[k(x-a)] =k,
所以k2=(1-a)/(x-a),
1004
过点E作EH⊥AC于H(如图4)。则由△AEH∽△AOC,得
EH/OC=AE/AO,即EH/x=2/√6,EH=2x/√6.
由△AEF的面积等于1/2·AF·EH=1/2·EF·AG,得
AF·EH=EF·AG,
所以(1-a)·2x/√6=(y/√6 b)·y/√2,
所以(1-a)·2x/√6=(√2kx/√6 ka)·√2kx/√2,
整理,得2x(1-a)=(√2kx √6ka)·kx,
即2(1-a)=k2 (√2x √6a),
所以2(1-a)=(1-a)/(x-a) (√2x √6a),
两边除以(1-a),去分母,得
2(x-a)=√2x √6a,
整理,得:(2-√2)x=(√6 2)a,
所以x/a=(√6 2)/(2-√2)
=[(√6 2)(2 √2)]/[(2-√2)(2 √2)
=√6 √3 √2 2,
即CD/CF=√6 √3 √2 2,此乃∠CFD的正切值,又∠CFD=82.5°,
所以tan82.5°=√6 √3 √2 2,
由此可得tan7.5°=a/x
=(2-√2)/( √6 2)= √6-√3 √2-2。
1005
如图5,作△ODE的底边DE上的高OM。
在Rt△OME中,
∠OEM=60°,OE=OA-AE=y-2y/√6,
所以OM=OE·sin60°
=(y-2y/√6)·√3/2=√3/2y-y/√2,
由△ADE的面积 △ODE的面积=△OAD的面积,得
1/2·DE·AG 1/2·DE·OM=1/2·OD·AC,
即1/2·DE·(AG OM)=1/2·OD·AC,
所以DE·(AG OM)=OD·AC,
因为DE=DG GE=y/√2 y/√6,
AG=y/√2,OM=√3y/2y-y/√2,OD=2x,AC=1,
所以(y/√2 y/√6)·(y/√2 √3y/2-y/√2)=2x·1,
整理,得(y/√2 y/√6)·√3y/2=2x,
即√3y2/(2√2) y2/(2√2) =2x,(√3 1)y2=4√2x,
y2=4√2/(√3 1) x=2√2 (√3-1) x.
在Rt△OAC中,由勾股定理,得OA2=OC2 AC2,
即y2=x2 1,
所以x2 1=2√2 (√3-1) x,
即x2-2√2 (√3-1) x 1=0,
△=[2√2(√3-1)]2-4
=8(4-2√3)-4
=28-16√3
=4(7-4√3)
=4(2-√3)2,
所以x=[2√2(√3-1)±2(2-√3)]/2
=√2 (√3-1)±(2-√3),
因为OC<AC,即x<1,
所以x=√2(√3-1)-(2-√3)
=√6-√2-2 √3
=√6 √3-√2-2.
所以转盘(小圆)的半径为(√6 √3-√2-2)米。
哎呀,累死贫僧了。"
"恭喜唐玄奘。"观音菩萨说,"今天把你们师徒四人和八仙召集在一起,其实并非是为了喝酒……"
"那是为了何事?"师徒四人齐声问道。
"自从你们师徒四人西天取经归来已有数十载。"菩萨说,"数十年来,你们所做的每一件善事天界众神们都看在眼里。你们师徒智慧超群,心存善念,已通过了天界的考验,今天受众神仙之托,让八仙作证,把你们师徒引渡到天界去。"
菩萨说完后拿出一把钥匙说:"这是打开通往天界大门的钥匙,密码是——"
"密码是多少啊?你快点说。"
"上天交代说了,密码是多少你们得自己破解。"菩萨说,"念在与你们多年交情的份上,我给你们透露个天机:密码是个六位数,它是某个三位数的平方,巧的是它的末三位数又恰好是这个三位数。记住了,密码你们最多只能输入三次,如果连续两次输错了,你们就永远上不了天界当神仙了。"
菩萨刚说完,连同八仙便化作一团白烟消失了。
"怎么办呢师父?"
"大家别急,都开动脑筋想一想:哪个三位数的平方,其末三位数又恰好是这个三位数呢?"
"要是一位数的平方,其末位数恰好是这个数那就简单了。"沙僧说,"这样的数无非是0或1或5或6."
"是啊,要是两位数的平方,其末两位数恰好是这个两位数的也好办。"八戒说,"这样的两位数我知道有一个25,因为25的平方=625,其末两位数恰好也是25。"
"还有一个76呢。"悟空说。
"76的平方=5776,其末两位数也恰好是76啊!"八戒惊奇地问,"猴哥,你是怎么发现这个76的呢?"
"因为两位数的平方,其末两位数恰好要等于这个两位数,首先必须确保末位数是0或1或5或6。"悟空说,"对于末位数是0或1的两位数,经验算从10、11到90、91这18个数的平方,其末两位数都不是10、11、20、21、…90、91.
而个位数为5的两位数,从15、25到95这9个数,分别经过计算知道只有25的平方等于625,其末两位数仍然是25;
对于末位数是6的两位数,从16、26到96这9个数,经计算知道只有76的平方等于5776,其末两位数仍然是76。"
"对于三位数的平方,其末三位数仍然是这个三位数的数,首先是不是也必须确保它的末两位数是25或36呢?"八戒说,"要是这样的话就简单了。"
"是啊,二师兄,要是那样的话只需要分别对末两位数是25和36的三位数分别求平方验证就可以了。"沙僧说,"对于末两位数是25的三位数,从125、225到925这9个数,经计算知道只有625的平方等于390625,其末三位数仍然是625。;
对于末两位数是76的三位数,从176、276到976这9个数,经计算知道只有376的平方等于141376,其末三位数仍然是376。"
"对于三位数的平方,其末三位数仍然是这个三位数的情形,我可以肯定是末位数必须是5或6."悟空说,"但末两位数是否一定是25或76我就不敢肯定了。还是让师父说说吧。"
"为师也不敢确定。"师父说,"你们的猜测要是正确的话,那我们打开通往天界的密码不是390625就是141376了。但要是存在着其他的数,那我们就有可能前功尽弃了。为了慎重起见,我们还是认真探索一下吧。"
"怎么探索呢?"
"首先,设所求的三位数为100x 10y z,则依题意,得
(100x 10y z)2=1000a (100x 10y z)(a为正整数,且10≤a≤998)
所以(100x 10y z)2-(100x 10y z)=1000a,
左边因式分解,得:(100x 10y z)(100x 10y z-1)=1000a,
因为右边1000a的末位数是0,
所以(100x 10y z-1)与(100x 10y z)乘积的末位数是0,
又(100x 10y z-1)与(100x 10y z)的个位数分别是z-1和z,它们是连续整数,
所以z-1和z只能是0和1,或4和5,或5和6,
所以z只能是1或5或6."师父说,"下面分别对z的取值进行讨论:
如果z=1,则(100x 10y 1)(100x 10y)=1000a,
整理,得:(100x 10y)2 (100x 10y)=1000a,
即100(10x y)2 10(10x y)=1000a,
两边除以10,得10(10x y)2 (10x y)=100a,
整理,得(10x y)[10(10x y) 1]=100a,
因为右边100a的末两位数为0,而10(10x y) 1的个位数是1,
所以10x y的个位数为0,
所以y=0,所以10x-(100x 1)=100a,
所以x(100x 1)=10a,
因为右边10a的末位数为0,而100x 1的末位数是1,
所以x=10,与x<10矛盾;
如果z=5,则(100x 10y 4)(100x 10y 5)=1000a,
整理,得:(100x 10y)2 9(100x 10y)=1000a-20,
再整理,得:100(10x y)2 90(10x y)=1000a-20,
所以10(10x y)2 9(10x y)=100a-2
因式分解,得:(10x y)[10(10x y) 9]=100a-2,
因为[10(10x y) 9]的个位数为9,100a-2的个位数为8,
所以(10x y)的个位数只能是2,所以y=2,
所以(10x 2)(100x 29)=100a-2,
整理,得1000x2 490x=100a-60,即100x2 49x=10a-6,
所以x(100x 49)=10a-6,
因为(100x 49)的个位数是9,10a-6的个位数是4,所以x只能是6,
故所求的三位数是625;
如果z=6,则(100x 10y 5)(100x 10y 6)=1000a,
整理,得(100x y)2 11(100x 10y)=1000a-30,
再整理,得10(10x y)2 11(10x y)=100a-3,
即(10x y)[10(10x y 1) 1]=100a-3,
因为[10(10x y 1) 1]的个位数为1,100a-3的个位数为7,
所以(10x y)的个位数只能是7,所以y=7,
所以(10x 7)(100x 81)=100a-3,
整理,得1000x2 1510x=100a-570,
即100x2 151x=10a-57=10(a-5)-7,
所以x(100x 151)=10(a-5)-7,
因为(100x 151)的个位数是1,10(a-5)-7的个位数是3,所以x只能是3,
故所求的三位数是376.
综上,所有满足条件的三位数只有625和376两个."
师徒四人终于获得通往天界的密码,打开了上天的大门,从此消失在浩瀚的宇宙之中。
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