#陪孩子一起学数学# 穿越沙漠问题。
有五位探险家计划横穿沙漠，他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶630千米的汽油。显然，五辆车不可能共同穿越630千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其他车完全返回出发点的前提下，几辆车相互借用汽油，让一辆车穿越沙漠。问：
（1）穿越沙漠的那辆车最远能够穿越多远的沙漠？
（2）如果有无穷多个人参与此次活动，最远可以穿越多远的沙漠？
（3）如果每辆车还有一个空的大油桶，可以储存汽油放在路上提供给回来的车使用，那他们最远可以穿越多远的沙漠？
解：
思路比较简单，就是一辆车走一段，留下回程的油，剩下的油灌给其他车，依次传递，让最后一辆车走到最远。难在如何定量，到底走多远合适，留给后面车当然是越多越好，可是留得多了没地方放，油箱还没空出来呢。
我们先来看两辆车会怎么样？
甲：——>|
<—— |
乙：——>|—— —— ——>|
（图1）
比较容易看出，甲把一箱油分成三份，一份去，一份回，一份借给乙，刚刚好。乙走的距离也就是(1 1/3)倍的满箱油距离。
那三辆车、四辆车、五辆车呢？
甲：——>|
<—— |
乙：——>|——>|
<—— <—— |
丙：——> ——>|——>|
<—— <—— <—— |
丁：——> ——> ——>|——>|
<—— <—— <—— <—— |
戊：——> ——> ——>——>|——> ——> ——> ——> ——> ——>|
（图2）
画图出来就比较容易看清楚了，
三辆车是（1 2/4）倍，四辆车是（1 3/5）倍，五辆车是（1 4/6）倍。。。
第（1）问结果也就是（1 4/6）* 630 =1050（千米）
小朋友可以给他再细分一下步骤以便于理解。
第（2）问呢，顺着第（1）问的思路来，六辆车、七辆车、八辆车。。。
共N辆车，走的距离是（ 1 （N-1）/（N 1））倍的单车满油距离，
当 N->无穷大，1 （N-1）/（N 1）->2
也就是最远能行驶的距离为 2*630 = 1260（千米）。
方法其实就是从枚举到找规律这一重要的逻辑方法——归纳法。
每辆车的潜力都挖掘尽了吗？
写到这里，答案对不对呢？每辆车油箱的潜力都挖掘尽了吗？车能不能在返程点多等一等，不急着回去呢？留下来做什么？可以多留点油，等有车回来油耗尽时可以分油一起回去。咦不应该是越多的油分给其他车，其他车走得越远吗？这就涉及到我们开始所说的，我想分给其他车，其他车也没有空间放呢。
我们从三辆车开始看，
甲：—>|
<—|
乙：—>|——>|
<— <——|
丙：—> ——>|——-——>|
（图3）
甲车走了一份油的距离，留了两份油（供甲乙一起返程），分了两份给乙丙，所以甲这段走了 1/5满油距离，
然后乙这段就跟上面两辆车的情况一样了，因为乙只要能回到甲的位置就好了，所以乙这段走了 1/3满油距离，
丙车最终走了 （1/5 1/3 1）倍的满油距离
同样， 四辆车、五辆车。。。
甲：—>|
<—|
乙：—>|——>|
<—|<——|
丙：—>|——>|———>|
<—|<——|<———|
丁：—>|——>|———>|————>|
<—|<——|<———|<————|
戊：—>|——>|———>|————>|——————>|
（图4）
第五辆车能行驶的最远距离是 （1/9 1/7 1/5 1/3 1）倍的满油距离，
为 70 90 126 210 630 = 1126（千米）
比前面距离多了一点点耶。
那这是不是就是第（3）问的答案呢？
油用桶留在那里，和用车留在那里，有什么区别呢？琢磨琢磨吧，嘿嘿
如果第（1）问答案是这样的，那第（2）问答案变了没有？
重新去归纳的话，会发现结果是
（1 1/3 1/5 /7 1/9 ...... 1/(2N-1) ......）倍的满油距离
上面这个无穷级数是发散的，也就是N趋于无穷大，上面的结果也是无穷大的。（此处就不给出证明了）
真的能走无限远吗？
有个著名的悖论，请自行搜索“阿西里永远追不上乌龟”。
再回到第（3）问，结果就是上面图4所示的1126千米了吗？
再问一句，资源都用到极致了吗？既然有油桶就有可能延长距离，那所有油桶都用上了吗？丁和戊的桶是不是闲置了？
丁：—>1—>2—>|
<—1<—2<—|
戊： —> —> —>|——— ——— ———>|
（图5）
剩下俩桶用不用好像没区别啊？您有什么方案，请及时告诉我。
之前算了个方案，用了5个桶，更远了一些，结果写文章的时候发现，应该是算错了。所以让孩子讲题是弄清楚到底有没有学明白的好方法。
还有其他方法让车走更远吗？
能不能带着装满油的油桶走？（不能，不让，不安全。）
没油的车能被拖着走吗？（能，但是。。。）
。。。
发散一下吧。
