数可以做除法,图竟然也可以?

数可以做除法,图竟然也可以?

首页冒险解谜永恒圆柱进化更新时间:2024-08-03

本文将和大家一起,感受莫比乌斯环、甜甜圈面(也经常称作轮胎面)、克莱因瓶的产生过程,以及它们之间的区别和联系。

请大家准备一张弹性很好橡皮膜(没有没关系,小编也没有,脑子里想象出来一个就行,这样更省事儿,你会发现在脑子里操作其实要比在手里操作简单

)。你可以拉伸它,但不能撕破它。现在你可以尽情地尝试,在各种操作下它会变成什么样子,比如大家耳熟能详的莫比乌斯环,甜甜圈,乃至克莱因瓶。本文讲述的,正是这样一个问题。

简而言之,本文,我们来玩儿橡皮膜

我们先考虑一个问题。除法是在做什么?如我们暂时从代数的抽象视角移开,而考虑它的实际意义,你会发现,将会有不一样的收获。

假设你路过一个教室,你知道这个教室有16张课桌。你数了数发现第一排有4张,于是你知道这个教室有4排。

从上边的例子可以看到,上述的求解过程,其实内含了每一排都是4张课桌这一假设,因而是个均分的过程。现在我们考虑万一每一排的课桌数目不一样呢?那该怎么得到排数呢?

我们可以沿着教室左侧墙边走一趟,就可以轻松数出有多少排,或者说,如果我们将这些课桌的几何排布向左做一个投影,数一下投影后有多少点。

此时我们发现,更为本质的是“排”本身,是桌子向左对齐的不同位置。如果我们定义向左投影位置相同的那些课桌组成一排,我们就定义了一个划分(即将很多个元素不重不漏地分为很多部分),或者说一个等价关系(至此,我们迎来了本文第1个抽象的概念,总共3个)。等价关系是一个二元关系,有这样易于理解的性质:

1、 自反性自己和自己是等价的。即:自己和自己是在同一排。

2、 对称性假设小明和小红在同一排,则小红和小明在同一排。

3、 传递性假设小明和小红在同一排,小红和小黑在同一排,则小明和小黑在同一排。

给定等价关系,我们就得到一个等价类,也就是得到一个划分。反之亦然,给定一个划分,就可以定义一个等价关系。(大家可以尝试按照定义证明一下)

类似的例子有很多。比如,宿舍是对入住同学的一种划分,定义同一个宿舍的人等价则得到了一个等价关系。

很好!我们定义了一个看似简单却非常有用的东西。根据目前这样的想法,我们就对除法做了这样的推广

课桌 ➗ 排关系 = 所有的排

可能有的同学就要问了,一个明明很简单的问题,怎么感觉被你绕来绕去说得这么复杂呢?别着急,有趣的在后面。小编向你保证,后边的内容,都非常直观

01

商空间与“粘合”

现在,在我们的脑海里把橡皮膜拿出来。

看到这里,可能大家就会对标题里的 “图的除法”有了一个猜测。

将圆盘的边界粘合起来,将得到球面

利用刚才的思想,我们得到了一个从已有图产生新图的强大方法:除以一个等价关系(划分)。以这个带边的圆盘为例,该如何用这个圆盘得到一个球面呢?你会发现答案如此简单:除以它的边界即可。如果我们定义这样一个划分:圆盘内的点自成一类,圆盘边界上的点一起成为一个新的类,然后我们再用一个点来表示一个类,就得到了球面。这里要注意,新的球面上的一个点是原来圆盘中的一个类,从粘合好得到最终的球面需要经过连续的形变,本文我们默认省去这一连续形变过程!可以表示如下

这里指圆盘,指一维球面也就是圆,指二维球面。这个过程非常直观,将橡皮膜圆盘的边界粘在一起捏成一个点,再通过适当的拉伸和变形,就得到了一个漂亮的球面!这不就是包饺子的过程吗?没错!

暂不阐释严格的概念,我们可以将这个得到的新空间叫做商空间。

看到这里的读者请为自己点个赞,你已经学会了简单的“图形除法”。大家可以发现,这种除法直观上,就是一种粘合!下面来做几道习题吧:

一学就会,一用就……

为了更广泛地研究这种操作,我们现在来关注正方形,请把脑海中的橡皮膜设置成一个正方形。

圆柱面

现在我们这样来定义划分。对于如上的在坐标系中的1×1的正方形,将左侧边的(0, t)点和右侧边的(1, t)点划为一个类,而除去左右两侧边剩下的点自成一类。这将得到什么?没错,一个圆柱面!

莫比乌斯环

现在,仍然是这个正方形,将左侧边的(0, t)点和右侧边的(1, 1-t)点划为一个类,而除去左右两侧边剩下的点自成一类。这将得到什么?你会发现,用橡皮膜做这个事情时,必须先扭一下才能完成这个粘合!这将得到莫比乌斯环!再次提醒大家注意,商空间上的一个点是原空间中的一个类

现在我们约定,使用带箭头和标记的边来表示这种粘贴,规则如下:

1. 看符号,对于同种符号的边,需要进行粘合。

2. 看箭头,如果箭头是同向的,则表示顺向粘合,如果是反向的,则需要扭转一下再进行粘合,以保证进行粘合后两个箭头重叠。

则刚才的圆柱面和莫比乌斯环可以如下表示:

左边为圆柱面,右边为莫比乌斯环

大家经常会在文献里见到这种表示方式!

更有趣的来了!

甜甜圈面

如果我们将左侧边的(0, t)点和右侧边的(1, t)点划为一个类,而将上边的(t, 1)和下方的(t, 0)划为一个类,可以标记如下。那么对于该标记,粘合而成的是什么样子呢?

正是甜甜圈面!

可能会有的同学要问了,早说,你这个不就是粘来粘去就可以了吗?还讲什么划分,等价关系?

之所以概念化和形式化,至少有以下三个原因

1、 数学上严格的描述时不可少的而且符号化可以帮助我们打开思路。如果只停留在描述层面,就可能会产生谬误。而符号化之后,可以大大帮助我们构思。

2、 这种粘合实际上可以帮助我们从原图的结构得到商空间的结构。之所以研究这种“粘合”而来的关系,是因为简单的几何 粘合方法可以给出复杂几何的结构信息。

3、 之所以不简单地使用粘合这个说法,是因为有些情况下你无法在现实(三维空间)中完成这个物理意义上的粘合。比如我们将要提到的,克莱因瓶,交叉帽。

有了如上符号化的铺垫,我们就有了探索的思路。以上的例子其实都较为直观,但接下来这个例子就不这样了。

克莱因瓶

可以看到,此图中一对边做同向粘合,一对边做反向粘合,得到的是什么东西呢?

正是传说中的克莱因瓶!你是否发现了不一样的地方?注意,这两次粘合无法在三维空间内完成,第二次粘合时总会遇到困难。但是作为除以等价关系意义下的商空间,并不会受限于此。数学上,这仍然是良好定义的二维曲面。


克莱因瓶经常被称作“永远不会被装满水的瓶子”。实际上,这个说法来自于其特殊的粘合方式,导致内部和外部是连通的,因而其实“装水”这个说法本身是否成立也有待商榷。

交叉帽

如果两对边都做反向粘合呢?即

实际上,这也是在三维空间中无法呈现的图,比如如下(称作射影平面,又叫交叉帽,小丑帽):

也就是这个样子:

但注意这里也是虚拟相交

怎么样,通过这种取商空间,或者说“粘合”的方法,有没有感觉莫比乌斯环、甜甜圈面、克莱因瓶、交叉帽这些东西都被联系起来,曲面的世界一下子被打开了一扇门

多边形粘合

到此为止了吗?当然不。进一步,我们还可以考虑多边形的粘合:

从上到下依次是带1个、2个、3个洞的“甜甜圈”

这种多边形粘合,给了我们强大的构造方式!

02

二维紧曲面分类定理

发挥你的想象,手中的橡皮膜到底可以粘合成多少种图呢?为了明确起见,我们要给我们的研究对象一个定义。我们首先关心的,是叫做紧曲面的东西(至此,我们迎来了本文第2个稍微抽象的概念,总共3个)。


紧曲面,简单来说(严格定义请参考相关数学教材),是这样一个空间,在这个空间中的每一个点处看,其局部都等同于无穷大平面。此外我们还要求曲面是紧的,这点也很直观,不严谨地讲,即这个曲面没有断开的地方,大小也是有限的。


即,如果我们变得非常非常小,然后站在这个曲面的任意一个点上,你都会感觉站在平面上。举个最简单的例子,地球表面如果光滑一些的话,就是一个标准的二维球面,我们在上边只感受到一个无穷大平面


举例而言,正方形因为有了边界,因而这里认为不是曲面;是无穷大的平面,故不是紧性条件。

这正是拓扑的迷人之处:局部来看,大家都一样。但是形成整体时,立即就呈现出了非常不同的性质比如以地球为例,人们只有绕了地球一圈回到原点,才真正确认地球是球状的。这种整体的性质,正是拓扑学的研究内容。(拓扑学,研究几何对象在连续变化下不变的性质的学科。)

我们通过上述定义,规避掉了那些奇奇怪怪的二维空间。而你会发现,紧曲面可能会非常多种多样。

多种多样的紧曲面

为了研究曲面之间的区别和联系,我们借助之前的思想,可以获得从已有曲面构造新曲面的方法。这个方法称之为连通和,简单来说是这样操作的

对于两个曲面,我们先在每个曲面上分别打出一个圆形的洞,然后将边界按照之前的方法粘合(严格的处理要相对复杂些,因为要设法使其光滑化)。比如如下的例子:

我们用符号“#”来标记连通和这个过程。如此一来,我们就有了构造新曲面的手段!

大家扶稳坐好,我们来到了本文的最终站:紧曲面分类定理。首先我们引入连通(至此,我们迎来了本文第3个抽象的概念,总共3个)的概念,简单来讲就是不能简单地分为两个或多个不相连的部分。

伟大的紧曲面分类定理断言:

我们用来标记甜甜圈面,用来标记交叉帽,则对于连通紧曲面,无论多么复杂,一定是下面中的唯一一个!:

也就是说,这个连通紧曲面,要么是球面,要么是环面的连通和,要么是射影平面的连通和!

Amazing!一下子清清楚楚,有点出乎意料之外、又在情理之中的感觉。更让人感到美妙的是,证明这个定理的思路就藏在之前讲的“粘合”方法中,没错,就是多边形的粘合

任你紧曲面变化无穷,给定一个紧曲面后,我们总可以裁上几刀之后,将其展开成一个多边形,如果我们在剪的时候对新出现的两条边做好标记,得到的正是之前介绍的多边形粘合形式!而我们有相应的方法分析这种多边形粘合形成的紧曲面结构,进一步即可给出相应的分类。

其中的细节也非常有趣和丰富,欢迎感兴趣的同学阅读相关教材!

哎等等!貌似有几个可能的问题没说清楚!

Q1

那克莱因瓶呢?克莱因瓶怎么看也不像你上边说的这些啊?

可以证明,克莱因瓶正是

Q2

你这个分类怎么没有和的连通和?

这里有件神奇的事情:!

Q3

凳子的表面该是哪一种呢?

留给读者自己思考~~~

02

最后

做个简单的总结,本文从除法出发,从几何视角介绍了“除以一个等价关系”的操作。这种操作很像是一种粘合,可以帮助我们从多边形出发,构造许多有趣的几何,比如莫比乌斯环,球面,甜甜圈面,克莱因瓶等。最后,我们介绍了一个让人惊讶的事实,即二维连通紧曲面只有三类,要么是球面,要么是甜甜圈面的连通和,要么是P2的连通和!而这个定理可以用多边形粘合的方法加以证明!

拓扑的语言或许有时为了严格化而有些繁琐,但其实际内容却非常直观而有趣。对这些对象的研究也带来了许多著名的定理:比如毛球定理,比如三明治定理。我们也期待这些整体性质的研究能在物理里获得更多的应用(比如量子纠错码里的拓扑码,就是其中的例子)!

参考文献:

James R M. Topology[J]. Prentic Hall of India Private Limited, New delhi, 2000.


编辑:小范



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