不一定的。函数可导只说明导函数有原函数。注意，在本科高数的语境下，可积是指黎曼可积，也就是黎曼和有极限，这和被积函数有原函数是两码事。
一个本科阶段常用的反例是
补充定义 .这个函数在 上可导，导数是
在 处根据定义，函数也可导，导数是0.但是当n>m的时候，在x=0附近导函数是无界的。因为黎曼可积函数在闭区间上是有界的，从而这个导函数在一个包含x=0的闭区间上不是黎曼可积的。
这个是不一定
先举个 无界函数和有界函数相乘 是 有界函数的例子：
y=sinx (有界） h=1/x (无界）
y*h= sinx / x
因为 当|x|>=1 时 |sinx / x|<1
当 |x|<1时 又有： |sinx| <|x| ,不明白的话 你画个单位圆。
或者 你查查 这个极限 lim(sinx / x)=1 x→0 怎么来的就懂了。
综上可以看出 |sinx /x |<=1 有界
又比如 : y= x (无界） h= 0 （有界）
y*h=0 有界
再举个 无界函数和有界函数相乘 是 无界函数的例子：
y=x h=2
y*h=2x
或者： y= 1/x h=cosx （有界）
y*h= cosx /x (无界）
