立体几何·截面画法。
下面我们一起来研究立体几何中截面图形的画法，这也是我们最开始学习立体几何的时候一定会遇到的一类问题。
首先大家要理解什么是截面图，在立体几何里面截面是指用一个平面去截一个几何体得到的平面图形。这个几何体其实有包括旋转体和多面体，而高中阶段大部分需要我们做的截面是用一个平面去截一个多面体时，这个平面与多面体的外表面的交线所围成的平面图形。譬如我们给出的这两个图的阴影部分就是我们需要做出来的截面图形。
下面我们就以长方体为例来研究过不共线的三点的截面图形的画法。由公理2我们知道过不共线的三点可以确定一个平面，那么就意味着过MNP将有唯一的一个平面和长方体相交，而我们要做的就是把这个平面和长方体的外表面的交线所围成的封闭的平面图形画出来，这就是我们最终要做的过MNP三点的截面图。
大家可以看到这三个点中MN的连线确实是在外表面上，但是NP和MP的连线是在长方体的内部，而我们要做的是这个平面和长方体的外表面的交线所围成的封闭的平面图形。下面我们就具体演示一下做题步骤。
MN已经在上表面上了，由公理1我们知道这两个点的连线就已经是我们要的一条直线了，所以第一步我们会把MN连接起来，但是连接起来之后大家不要立马停止，而是向两边继续去延伸，继续去找这条直线和它所在的面上的棱的交点。
那为什么我们要去找它与棱的交点？是因为棱上的点是在两个平面上，所以由于它具有这样的一个属性，我们就可以找到这条直线和其他的外表面的交点。
那么这些点除了在棱上还在我们的截面上，譬如现在我们就找到了A点和B点，A点除了在上表面上同时还在外表面上，B点除了在上表面上，同时还在右表面上。非常完美的是右表面上已经有一个点p正等着我们。BP的连线就是要找的第二条交线，仍然会去找它和棱的交点，这样就找到了C点和D点。
此时再次完美的发现D点和A点都在正对着外表面上，连接AD找到它与外表面的棱的交点，E点和F点。此时截面图形其实已经出来了，MNCPEF即为所求。看得见的画实线，看不见的画虚线，把六边形连接起来，MNCPEF即为所求。
这个题其实是常见的，也是简单的截面图形的做法。简单是由于题目中已经有现成的两个点，MN在同一个外表面上。来看一看如果已知的不共线的三个点都不在同一个外表面上该怎么处理？譬如这个图形中的MNP都在棱上，但是它们的连线都是在长方体的内部，都不在外表面上。
所以没有办法像刚才的图1那样直接找到一条直线，因为没有现成的在同一个外表面上的交点，所以同一个平面上的两个焦点需要自己做出来。大家要注意的是这个点并不是截面和棱的交点，要记住课堂上讲过的原则，肉眼看到的相交不一定真的相交，在同一个平面上的两条直线才可能相交。
观察一下MNP这三个点，大家会发现P点在下底面上，而MN这条直线将一定会和下底面相交，所以找到MN和下底面交点的具体位置是这一题的关键。
第一步会做出MN在底面上的影子，M一撇N一撇，很容易得到这两条线段是平行，但是不相等的。平行可以通过公理2的推论3得出这四点共面，然后不相等。可以得出推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面。推论2两条相交直线确定一个平面。推论3两条平行直线确定一个平面。MN将必然和M一撇N一撇的延长线相交，这样就找到了第一个非常关键的交点A点，这个点是截面上的直线，MN和下底面的交点，下底面上已经有非常完美的截面上的点P在等着我们，所以连接AP并延长去找它和它所在的下底面的棱的交点。
找到这些焦点之后剩下的工作就和图一是一样的了，所以这样就找到了BCD这三个点，并且这些点都在截面所在的平面上。
再去观察CN都在截面所在的平面上，并且都在左侧面上，所以连接CN并延长这条线必然也在截面所在的平面上。同理DM都在最里面的面上，连接DM并延长找到它和棱的交点，看左边CN和左侧面所在的棱的交点，找到了一点，DM和最里面的面上的棱的交点就找到了F点。
同时如果大家有深入的思考和分析，会发现最里面的竖着的这条棱将会和刚刚做的这两条直线CE和DM交于点G。大家可以通过公理化的思想，三个公理三个推论去证明这三条直线交于一点这个工作，大家可以尝试去完成。
这也是在学习立体几何的时候需要重点培养的两个能力，一个叫做空间感的建立，一个叫做公理化思想的应用。所以大家课后可以尝试利用三个公理三个推论去证明这三条直线交于一点G。
回到最初的截面图，EMFPBN所组成的六边形即为所求的截面图形，把它连接起来，看得见的画实线，看不见的画虚线，就做出了截面图形。
其实关于截面图形的做法还有更高端的题型，毕竟图一和图二中的三个点都在棱上，如果已知的三个点不仅不在同一个外表面上，同时还不在棱上(其中M在上表面)。
那我们该怎么处理？大家可以挑战一下我们下面的这张图，加油！我们今天的讲解就到这里，希望会对大家有一定的启发和帮助，拜拜！
