第一节 普通鱼（链列）
一、什么是鱼？
1、鱼（Ultimate Fish，简称Fish，也称链列）。鱼和链列是一个东西，只是用词习惯不同而已。鱼是一种同数的可推理结构的统称。鱼的严格定义是“所有同数技巧”（包括排除法）
2、链列这个体系要被称为鱼，是因为从三链列开始，这个结构的长相类似于美国的一种军用双翼飞机，叫Fairey Swordfish。
3、普通鱼：针对同一个数来说，在多个区域下，只能填入到几处对应的不同的单元格上。
二、二阶鱼（二链列）
〔一〕二阶鱼名称的由来
1、二阶鱼，也叫做二链列、四角对角线、矩形摒除 、X-Wing、X翼。
2、把每一条假设的开头位置和结尾位置连接起来，会发现它组成了X的形状。
〔1〕X：代表的是出数的结果在对角线上，一撇一捺，从外形上看，像X。所以这个解法的英文名由此得来——“X-Wing”。
〔2〕在英语中，wing是翅膀的意思，就像一个展开的翅膀一样。
3、二阶鱼：这种鱼的规格是涉及两行两列，也就是说，如果定义域在两行时，删除域就在两列；如果定义域在两列时，删除域就在两行。定义域只有两行或者两列，因此被称为二阶，一般我们称这种结构叫做二阶鱼，也叫做二链列（X-Wing）。
4、四角对角线法则”，那么这个命名，其实是一个日文了（四角対角線法則，平假名：しかく たいかくせん ほうそく）。四角对角线法则（X-Wing），因为这个结构先于鱼体系结构发现，所以有单独的命名，后面也觉得这玩意儿有独特的思维，也就没有过多追究它本身的鱼的名称；
5、阶、规格（Order/Size）：表示鱼结构的大小，也就是定义域中总区域的个数。二阶鱼的定义域的个数是2，也就是说定义域是两行或者两列。
〔二〕二阶鱼删减法概述
1、适用情况：观察某一个数字，如果在某两行（列）中能填入的位置恰好在同样的两列（行）中，则这两列（行）上其他单元格中将不可能再出现该数字。
分开叙述：
A行→列：
〈定义域〉如果一个数字，需要填入到某两行中，每行中能填入的位置只有2格。两行共4格，而这4格恰好在某的两列中。换个角度看，这4个单元格又恰好构成矩形的形状。
〈删除域〉那么，这两列上其他单元格中将不可能再出现该数字。
B列→行：
〈定义域〉如果一个数字，需要填入到某两列中，每列中能填入的位置只有2格。两行共4格，而这4格恰好在某的两行中。换个角度看，这4个单元格又恰好构成矩形的形状。
〈删除域〉那么，这两行上其他单元格中将不可能再出现该数字。
C从结果的视角上看，最终可以填数的位置，只在构成矩形的4个单元格中。
D从影响的区域来看，仅仅涉及二行两列，所以称作二阶。
F从宫的视角上看，构成矩形的4个单元格，不能全部位于一个宫内，只能在两个宫或者四个宫内。
2、这种方法不仅适用于候选数法，也适用于直观法。
A在候选数法中使用二阶鱼：候选数采用的是全部标记，而不是局部标记。使用此法的目的是删除相关的候选数。
B在直观数法中使用二阶鱼：使用此法的目的是排除相关的数字。
3、只涉及到一个数字，是相同的一个数字，不涉及任何其他的数字。对于候选数来说，仅仅涉及其中一个候选数，不包括任何其他的候选数。
4使用二阶鱼法的目的
A从候选数视角上看，是删除相关的候选数，是删数法，而不是出数法。
B从直观视角上看，是排除相关的数字，是排除法，是双区块排除法，而不是出数法。
C总而言之，二阶鱼不是出数法，是辅助法，更多情况下，需要结合其他技巧才能出数。
〔三〕二阶鱼的结构分析
有两种结构
1、第一种结构：
定义域：两行
〔1〕定义域（Defining Set/Base Set）：通过分情况讨论，和假设所有填数情况的所处区域。也就是说，所有可能填数所在的区域。
〔2〕定义行（列）：定义域所在的行或列。
A所有可能填入数字的单元格，全部位于某一行，就称作定义行。
B所有可能填入数字的单元格，全部位于某一列，就称作定义列。
〔3〕定义格，定义域中候选数所在的单元格。
〔3〕每行只有两个候选数，这两个候选数所在的定义格构成行区块。
〔4〕定义域一共有两个定义行
〔5〕定义格一共有四个
删除域：列
〔1〕删除域、删数域（Secondary Set/Cover Set）：鱼结构删除数字的所有区域。
〔2〕删除行（列），删除域所在的行或列
〔3〕定义格全都在删除列中。
〔2〕删除域一共有两个删除列
示意图
2、第二种结构：
定义域：列
〔1〕定义域一共有两列
〔2〕每列只有两个候选数，这两个候选数所在的定义格构成行区
〔3〕定义格一共有四个
删除域：行
〔1〕定义格全都在删除行中
〔2〕删除域一共有两个删除行
示意图
3、二阶鱼的鱼身
〔1〕鱼身（Body）：所有鱼结构涉及的单元格序列。
〔2〕组成
A定义域和删除域是两行两列
B四个定义格的外形是矩形
C出数的结果在对角线上的定义格中
〔四〕举例说明
实例一
〔1〕候选数全标
〔2〕选择某个数字进行观察
在实际的做题中，可以从数字1开始，逐个尝试。
这里不再列举解题的过程，而是直接从结果开始，直接选择存在二阶鱼的数字6开始。
〔3〕画出两格行区块
〔4〕在行区块中寻找矩形：寻找由4个单元格构成的矩形
没有发现矩形
〔5〕画出两格列区块
〔6〕在列区块中寻找矩形
通过观察，列区块R48C2和R48C9的四个格子恰好构成一个矩形。
〔5〕矩形中找到二阶鱼
定义域：列C2和列C9
删除域：行R4和行R8
〔6〕删数原理分析
第一步：分情况讨论
在第二列C2中，候选数6只出现在两个单元格中，也就是说，数字6可能填在单元格R4C2中，也可能填在单元格R8C2中。于是可以得到这样的结论：
A、结论一：数字6仅仅能填入两个单元格中，所以形成列区块R48C2（6）
B、结论二：数字6无论填入哪一个单元格中，都一定出现在第二列C2上，所以称作定义行。
再看第九列C9中，候选数6也是只出现在两个单元格中，同样也可以得到这样的结论：
A、结论一：存在列区块R48C9（6）
B、结论二：定义行是C9
因此，数字6的定义行有两行，所以称作二阶。
数字6可能填入的位置有4个单元格，这4个单元格恰好构成矩形，所以成为二阶鱼。
数字6可能填入的位置有4个单元格，可以选择任意一个单元格，进行研究。
这里选择单元格R4C2进行讨论。
第一种情况：当R4C2＝6时，
根据数独规则，同一行中不能有重复的数字，所以，当R4C2＝6时，R4C2所在R4行中的其他位置就不能再出现数字6，也就是说R4中的其他位置的候选数6都可以删除，于是得到这样的结论
结论一：R4行称作删除行。
结论二：R4C9≠6
观察第九列，存在列区块R48C9（6），如果R4C9≠6，那么，R8C9＝6。
根据数独规则，同一行中不能有重复的数字，所以，当R8C9＝6时，R8C9所在R8行中的其他位置就不能再出现数字6，也就是说R8中的其他位置的候选数6都可以删除，于是得到这样的结论
结论三：R8行称作删除行。
结论四：R8C2≠6
综上所述：当R4C2＝6时，
结论一：R4行称作删除行。
结论三：R8行称作删除行。
于是得到这样的结论
结论五：当R4C2＝6时，删除域是R4行和R8行。
综上所述：当R4C2＝6时，R8C9＝6。于是得到这样的结论
结论六：当R4C2＝6时，R8C9＝6，填入数在捺对角线上。
第二种情况：当R4C2≠6时，
由于第二列存在列区块R48C2（6），所以R8C2＝6。
根据数独规则，同一行中不能有重复的数字，所以，当R8C2＝6时，R8C2所在R8行中的其他位置就不能再出现数字6，也就是说R8中的其他位置的候选数6都可以删除，于是得到这样的结论
结论七：R8行称作删除行。
结论八：R8C9≠6
观察第九列，存在列区块R48C9（6），如果R8C9≠6，那么，R4C9＝6。
根据数独规则，同一行中不能有重复的数字，所以，当R4C9＝6时，R4C9所在R4行中的其他位置就不能再出现数字6，也就是说R4中的其他位置的候选数6都可以删除，于是得到这样的结论
结论九：R4行称作删除行。
综上所述：当R4C2≠6时，
结论七：R8行称作删除行。
结论九：R4行称作删除行。
于是得到这样的结论：
结论十：当R4C2≠6时，删除域是R4行和R8行。
综上所述，当R4C2≠6时，R8C2＝6且R4C9＝6。于是得到这样的结论
结论十一：当R4C2≠6时，填入数在撇对角线上。
综上所述：
结论五：当R4C2＝6时，R8C9＝6，填入数在捺对角线上。
结论十一：当R4C2≠6时，填入数在撇对角线上。
把每一条假设的开头位置和结尾位置连接起来，会发现它组成了X的形状。所以这个二阶鱼解法的英文名由此得来——“X-Wing”。
在英语中，wing是翅膀的意思，就像一个展开的翅膀一样。它还有一个独特的名称——四角对角线法则。
第二步：寻找共性
结论五：当R4C2＝6时，删除域是R4行和R8行。结论十：当R4C2≠6时，删除域是R4行和R8行。
总而言之，在二阶鱼这个结构中，无论格R4C2是否填6，删除域都是R4行和R8行。
运用同样的推理，可以得到这样的结论：
对于这三个单元格R8C2、R4C9、R8C9，无论是否填6，删除域都是R4行和R8行。
第三步：得出结论
二阶鱼的定义域：列C2和列C9
二阶鱼的删除域：行R4和行R8
〔7〕删除相关的候选数
在删除域行R4和行R8中，删除候选数6
本节实例答案
实例一：初盘
实例一：终盘
