折出新高度——如何 n 等分 1×1 的纸?

折出新高度——如何 n 等分 1×1 的纸?

首页休闲益智花样折纸更新时间:2024-09-18

本文由微信公众号 牛油果进化论授权转载。

在《如何用一张1×1的纸折出正七边形? 》一文中,我们知道了一张1×1的纸可以玩出怎样的花样:折出长度比等于1:

的两段、三等分一个角、得到正n边形(n=费马质数)。

当然,如果除了纸和双手以外,你还有更多的工具,创造出一些惊人的艺术品也不是不可能,就像这样:

Credit:Meenakshi Mukerji

这次我们就暂不讨论剪纸工艺的问题,而是继续畅游Origamics的世界,用数学的方法去虐手。

认识芳贺

芳贺和夫(Kazuo Haga)被认为是折纸几何的开创者,筑波大学(University of Tsukuba)教授,同时在植物分类学和数学领域有突出贡献。

芳贺生于1934年,作为一名具有探索精神的研究者,早些时候他就发现了折纸过程中的一些数学结论,但并没有作为研究重点去关注。

直到之后与其他数学家的交流中,他提到了自己的这些“小发现”,没想到受到了其他人的高度赞赏,从此就一发不可收拾,在折纸的路上越走越远。不仅提出了Origamics这一学科领域,还在1992年第三次折纸年会上,用自己的名字命名了芳贺第三定理。现在,我们通常把折纸几何中的三个基本定理分别称为芳贺第一、第二和第三定理。

2008年,芳贺出版了图书《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》(折纸几何:用折纸来探索数学),里面包含了更多有趣的结论,图文并茂地展示了这个年轻学科里的内涵和无限的可能性。

《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》

芳贺第一定理

芳贺第一定理是教你如何折出三等分点的定律。

关于芳贺最早的“小发现”,经过归纳之后变成了我们现在所说的芳贺第一定理,它巧妙地把中点、三等分点、3:4:5直角三角形融合到了一张1×1的白纸上。

说到折纸几何,这一定理无疑可以帮助我们真正理解其中的精髓。

下面就请同学们紧张地拿出准备好的1×1白纸,跟着我一起折吧。

第一步:将纸对折,找到一边的中点,我们叫它P点

第二步:找到P点右下对应的正方形角点D点

第三步:折叠使D点与P点重合,同时正方形底边与临边相交于Q点

这时, Q点是正方形临边的三等分点,如下图:

P是AB的中点时,我们得到BQ=2QC

利用相似三角形的性质,我们可以轻易证明这一结论,但关于这个图形还有更多值得注意的地方。

通过计算,我们发现AR:DR=3:5。由于是翻折,所以DR=PR,再加上∠A是直角,聪明的你一定发现了直角△PAR是著名的勾股三角形(三条边的长度之比等于3:4:5),不知你有没有和我一样,很惊喜很意外呢!

好了,根据芳贺第一定理,简单两步我们就得到了三等分点(QC=1/3),不要就此止步,我们可以顺着这个思路继续走下去,看看有没有其他的隐藏成就等着我们去发现。

多走一步!

答案是肯定的。要尝试其他可能,第一反应大概就是让P点在边上移动了,芳贺也确实是这么做的。

有些数学基础的小伙伴们掐指一算,就不难发现:无论P在边上怎么移动,AP,BQ,CQ还有另外几条线段之间都有相同的关系:

如果正方形边长是1,其他线段之间的关系

简单取几个数试试,当P点分别是2等分点、3等分点、5等分点的时候,对应的Q点就是3等分点、2等分点、3等分点。

至此我们就完整回答了上篇文章里读者提出的找3等分点的问题。

关于芳贺第二、第三定理,本文就不展开赘述了,折纸到现在已经不易,且行且珍惜。后面的内容数学性较强,欢迎有兴趣的读者继续试探。

等分等分等分!

按照上面的办法,要多等分线段的话,我们首先要找到对应的P点。然而,当你需要找例如6等分的Q点时,你会发现对应的AP需要等于5/7,6等分点都没找着,我们上哪去找5/7的点呢?真是让人头大。

这下总算终于轮到新方法登场了,接下来的步骤同样简单,却可以帮你找到n等分线段(当然n是正整数)的办法。想知道怎么做到的?迭代!

首先我们来看基本操作。

对于CE上任意一个点A,

第一步:沿CD折叠,得到折痕CD

第二步:沿A点对折,得到折痕AB

第三步:沿EB折叠,得到交点X

第四步:沿X点对折,得到F、G两点

基本操作完成。

熟悉的味道,相似的三角!~ 我们找出△XFE和△BAE这对相似三角形,结合下图写出那个伟大的等式。

聪明的你会发现,如果像图中这样表示长度,设正方形边长为1,那么一定有

EF/AE = XF/AB

也就是: x/(1/(n-1)) = (1-x)/1

化简:x=1/n

是的 x=1/n !如果你没有看出其中的玄机,可以尝试带入具体的数字试试看。

坚持到这里,不知道你有没有和小编一样恍然大悟的感觉呢?这就是迭代的力量,通过重复完成同一个基本操作,我们可以找出线段上的n等分点(只要你的纸足够大)。

那么,折纸系列到此就结束了,撒花!对于有兴趣的小伙伴们,相信你们已经领会到了个中奥妙,大门已经开启,各位各自前行就好。不太感冒的小伙伴权当是一种尝试,世界还很大,我们之后会继续陪你探索的,下次见。

参考资料:

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms

https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/7023

https://ja.wikipedia.org/wiki/芳賀和夫

https://mathigon.org/origami#intersecting-planes

来源:

牛油果进化论

百度TA说 特邀自媒体

一个不正经的学术平台

编辑:Quanta Yuan

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