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在《如何用一张1×1的纸折出正七边形？ 》一文中，我们知道了一张1×1的纸可以玩出怎样的花样：折出长度比等于1：
当然，如果除了纸和双手以外，你还有更多的工具，创造出一些惊人的艺术品也不是不可能，就像这样：
Credit：Meenakshi Mukerji
这次我们就暂不讨论剪纸工艺的问题，而是继续畅游Origamics的世界，用数学的方法去虐手。
认识芳贺
芳贺和夫（Kazuo Haga）被认为是折纸几何的开创者，筑波大学（University of Tsukuba）教授，同时在植物分类学和数学领域有突出贡献。
芳贺生于1934年，作为一名具有探索精神的研究者，早些时候他就发现了折纸过程中的一些数学结论，但并没有作为研究重点去关注。
直到之后与其他数学家的交流中，他提到了自己的这些“小发现”，没想到受到了其他人的高度赞赏，从此就一发不可收拾，在折纸的路上越走越远。不仅提出了Origamics这一学科领域，还在1992年第三次折纸年会上，用自己的名字命名了芳贺第三定理。现在，我们通常把折纸几何中的三个基本定理分别称为芳贺第一、第二和第三定理。
2008年，芳贺出版了图书《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》（折纸几何：用折纸来探索数学），里面包含了更多有趣的结论，图文并茂地展示了这个年轻学科里的内涵和无限的可能性。
《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》
芳贺第一定理
芳贺第一定理是教你如何折出三等分点的定律。
关于芳贺最早的“小发现”，经过归纳之后变成了我们现在所说的芳贺第一定理，它巧妙地把中点、三等分点、3:4:5直角三角形融合到了一张1×1的白纸上。
说到折纸几何，这一定理无疑可以帮助我们真正理解其中的精髓。
下面就请同学们紧张地拿出准备好的1×1白纸，跟着我一起折吧。
第一步：将纸对折，找到一边的中点，我们叫它P点
第二步：找到P点右下对应的正方形角点D点
第三步：折叠使D点与P点重合，同时正方形底边与临边相交于Q点
这时， Q点是正方形临边的三等分点，如下图：
P是AB的中点时，我们得到BQ=2QC
利用相似三角形的性质，我们可以轻易证明这一结论，但关于这个图形还有更多值得注意的地方。
通过计算，我们发现AR：DR=3:5。由于是翻折，所以DR=PR，再加上∠A是直角，聪明的你一定发现了直角△PAR是著名的勾股三角形（三条边的长度之比等于3:4:5），不知你有没有和我一样，很惊喜很意外呢！
好了，根据芳贺第一定理，简单两步我们就得到了三等分点（QC=1/3），不要就此止步，我们可以顺着这个思路继续走下去，看看有没有其他的隐藏成就等着我们去发现。
多走一步！
答案是肯定的。要尝试其他可能，第一反应大概就是让P点在边上移动了，芳贺也确实是这么做的。
有些数学基础的小伙伴们掐指一算，就不难发现：无论P在边上怎么移动，AP，BQ，CQ还有另外几条线段之间都有相同的关系：
如果正方形边长是1，其他线段之间的关系
简单取几个数试试，当P点分别是2等分点、3等分点、5等分点的时候，对应的Q点就是3等分点、2等分点、3等分点。
至此我们就完整回答了上篇文章里读者提出的找3等分点的问题。
关于芳贺第二、第三定理，本文就不展开赘述了，折纸到现在已经不易，且行且珍惜。后面的内容数学性较强，欢迎有兴趣的读者继续试探。
等分等分等分！
按照上面的办法，要多等分线段的话，我们首先要找到对应的P点。然而，当你需要找例如6等分的Q点时，你会发现对应的AP需要等于5/7，6等分点都没找着，我们上哪去找5/7的点呢？真是让人头大。
这下总算终于轮到新方法登场了，接下来的步骤同样简单，却可以帮你找到n等分线段（当然n是正整数）的办法。想知道怎么做到的？迭代！
首先我们来看基本操作。
对于CE上任意一个点A，
第一步：沿CD折叠，得到折痕CD
第二步：沿A点对折，得到折痕AB
第三步：沿EB折叠，得到交点X
第四步：沿X点对折，得到F、G两点
基本操作完成。
熟悉的味道，相似的三角！~ 我们找出△XFE和△BAE这对相似三角形，结合下图写出那个伟大的等式。
聪明的你会发现，如果像图中这样表示长度，设正方形边长为1，那么一定有
EF/AE = XF/AB
也就是： x/(1/(n-1)) = (1-x)/1
化简：x=1/n
是的 x=1/n ！如果你没有看出其中的玄机，可以尝试带入具体的数字试试看。
如果n=2，就是AE=1，这时A点就在C点，那么x=1/2，废话！因为基本操作其实就是把纸对折了。
接着，如果n=3，就是AE=1/2，A是中点，那么x=1/3，神奇！3等分点get。
再往后，你大可以把上次的F点当作下次的A点，找到另一个F点，那么x会依次等于1/4，1/5，1/6……
坚持到这里，不知道你有没有和小编一样恍然大悟的感觉呢？这就是迭代的力量，通过重复完成同一个基本操作，我们可以找出线段上的n等分点（只要你的纸足够大）。
那么，折纸系列到此就结束了，撒花！对于有兴趣的小伙伴们，相信你们已经领会到了个中奥妙，大门已经开启，各位各自前行就好。不太感冒的小伙伴权当是一种尝试，世界还很大，我们之后会继续陪你探索的，下次见。
参考资料：
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms
https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/7023
https://ja.wikipedia.org/wiki/芳賀和夫
https://mathigon.org/origami#intersecting-planes
来源：
牛油果进化论
百度TA说 特邀自媒体
一个不正经的学术平台
编辑：Quanta Yuan
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