数学方法 | 解立体几何,添加辅助线的方法汇总

数学方法 | 解立体几何,添加辅助线的方法汇总

首页休闲益智解线条更新时间:2024-04-28

在学习立体几何时,空间中平行、垂直的证明,距离、角的计算,点、线、面位置关系的判断大多都需要做出辅助线,有些同学一涉及辅助线问题就懵圈,不知如何下手。

那么什么情况下该作辅助线?

如何根据条件作出恰当的辅助线?

是否存在作辅助线的规律呢?

看完就知道啦!

一、定义法

添加辅助线——求角问题

解决异面直线夹角、线面角、二面角、面面垂直的问题时,通常需要结合定义法求解,可是题目往往不会那么好心的为我们给出满足定义的所有条件,此时就需要添加辅助线,使已知条件满足某个定义,即把定义中缺少的线、面、体补全,所以理解并熟知立体几何当中的定义、概念很重要. 总结一下就是:按照定义条件作辅助线凑条件.

1 定义法作辅助线求异面直线所成的角

2 定义法作辅助线求线面角

3 定义法作辅助线求二面角

上述各例都是利用定义法作平行线和垂线,凑足条件后利用定义找到相应的角,结合解三角形得到相应的答案.

二定理法

添加辅助线—证明平形&垂直问

证明空间中的平行和垂直问题利用定义法一般较为麻烦,通常采用判定定理和性质定理。

来证明,利用定理作出辅助线,构造定理使用的条件.故定理法作辅助线即找满足定理的条件,核心为作平行线和垂线.

1 添加平行线的策略

把不在一起的线集中到一个图形中,构造三角形、梯形的中位线,平行四边形、矩形、菱形的对边等,通过图形性质就可得到所需的平行关系.

2 添加垂线的策略

立体几何中的许多定理是与垂线有关的,如三垂线定理,线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理,正棱柱、正棱锥的性质,球的性质等,所以运用这些定理,就需要作辅助线把没有的垂线补全.尤其要注意平面的垂线,因为有了平面的垂线,才能建立空间直角坐标系和使用三垂线定理或其逆定理.

作垂线方法:等腰三角形或正三角形取底边中点,连接顶点和中点;连接正方形、菱形的对角线;直立方体,可连接上下面中心;构造勾股定理等构造垂直关系.

三、割补法

添加辅助线解决三视图或求体积、表面积问题

几何体的三视图,常常可以看作是由基本几何体(如正方体、长方体)切割出的几何体的三视图,作直观图时,可以画出正方体(或长方体),在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图.利用辅助线或辅助面,通过“割”或 “补”把一些线面关系放到一些特殊的几何体中思考,或把原几何体分割成几个特殊的常见的简单几何体,使各种线、面关系易于理解.

四、中心对称问题中的对称连线法

当遇到对称几何体或几何面的问题时,如球、正三棱锥、立方体、圆、正三角形、矩形、平行四边形等,根据题意可以把对称几何体或几何面的中心几何面的外心、内心、垂心、重心和所求问题涉及的点线面连接起来,然后利用几何体或面的性质求解问题.例如平行四边形连对角线;圆的问题向圆心连线;球的问题向球心连线等,使问题简单易解.

总结

立体几何作辅助线问题,看到求角想定义,看到求证想定理,看到结论想性质.定义、定理是打开解题思路的关键,也是引入辅助线的基础。

所以运用这些定义、定理或性质时,就需要把没有的线补上.尤其要注意平面的垂线,因为有了平面的垂线,才能建立空间直角坐标系,才能使用三垂线定理或其逆定理.

对于复杂的几何体,分割成若干个常见的几何体求解.

对于抽象的几何体则补全为常见的几何体求解,即“中点琢磨中位线,定理、性质凑条件;

复杂抽象想熟体,切割添补是利器,有了垂面作垂线,对称体面中心连” .

作辅助线的目的就是把一些分离的条件通过添加辅助线联系起来,集中在一个图形中,构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形,或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线等,这样就可以通过解三角形等,求得要求的量,将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.

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