例1.如图，点A是直线y=-x上的动点，点B是x轴上的动点，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，则OD的最大值为 。
解析：本题从常规方法看，应寻找D点轨迹，但这里似乎不好确定D的运动轨迹是哪种图形。
由题意知∠AOB=45°或135 °，AB=2，为定线对定角基本图形，所以O点在以AB为弦的圆弧上。考虑到点D与矩形及AOB外接圆的相对位置不变，所以我们换一个角度，让圆和矩形不动，则O点是圆P上的动点，也即点O 的运动路径是圆P，从而OD即为定点D到圆P的路径。
如上图，易知点心距PD=1，圆P的半径为√2，所以OD的最小值为√2-1，最大值为√2 1。
本题也可以从三角形三边关系判断，如下图，OP PD≤OD≤OP-PD，但仍需先判断OP为定值，即AOB共圆，且OPD三点可能共线。
若题目关键点中的动点较多，定点较少，可以根据运动的相对性，把动的部分静止，就相当于把定的部分运动，来一个乾坤倒转，问题就很清楚明了。
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主从联动
例2.如图，已知点A（3，0），C（0，－4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点.连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值= 。
分析：此题中的O点是定点，M点是动点，显然要先确定动点M的运动轨迹是什么图形。从条件看，M点随P点运动，且与定点A的距离比为定值AM：AP＝1：2，符合主从联动型问题，得M点运动轨迹为以AC中点为圆心，以圆C半径的1/2为半径的圆。
如上图，转化为定点O到定圆D的最短路径，得最大值为5/2 √5/2，最小值为5/2-√5/2。
另外，本题也可以根据中点条件构造OQ=AO得中位线OM=1/2PQ，转化为求PQ的最小值，仍然是求定点Q到定圆C的最短路径问题，其本质并无不同。
主从联动的动点轨迹问题已有前文论述，参考阅读：探本求源－秒解旋转缩放型的动点路径问题
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观木见林
例3. 已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC＝90°，AB＝AC，求OC的最小值。
分析：本题中点A、B都是圆O上的动点，若要完整地画出C点轨迹，可能不太容易。首先看用电脑画出A、B两点双动时C点的轨迹，如下图。
可见，点C的轨迹应是一个封闭的圆环。但是不用几何画板这样工具的话，好像不容易看到这个圆环。
怎么办呢？当然有办法，可以按照下面的方法解决。
（1）若点A不动，点B在圆O上运动一周，则点C是由动点B绕定点A逆时针旋转90°而来，点B是主动点，点C是从动点，所以此时点C的运动轨迹也是由点B的运动轨迹绕点A逆时针旋转90°而得，即⊙O绕点A逆时针旋转90°就是点C的轨迹，如下图。[原理参阅：探本求源－秒解旋转缩放型的动点路径问题，也有老师形象总结为“瓜豆原理”]
再把点A在圆O上运动一周，这时红色轨迹圆也随之绕点O运动一周，如下图。
上图的的红色区域就是完整的C点轨迹，它是点A、B在圆周上随机运动时C点所有可能的位置。
由上图可知，P点的完整轨迹是红色圆环，转化为求定点O到红色圆环的最短路径，得内圆半径3√2-3即为OC的最小值，外圆半径3√2 3即为OD的最大值。
当然，为简单起见，如下图，我们让A点静止在某处不动，C点随B点运动一周形成的轨迹是圆D，此时转化为定点O到定圆D的最短路径，可以得出同样的结果。为什么可以用这一种位置代替上图中整个圆环？因为点A与圆心O的距离不变，无论点A运动到何处，点O到C点所在轨迹的相对距离都相同。即可以让点A不动代替点A运动一周的所有情况，上图的点O到圆环与下图的点O到圆D的最短（长）路径结果是一样的。（此处有点烧脑，需从动态视角和全局视角考虑）
（2）若点B不动，点A在圆O上运动一周，则点C是由动点A绕定点B逆时针旋转90°且放大√2倍（因CB：AB=√2：1）而来，点A是主动点，点C是从动点，所以此时点C的运动轨迹也是由点A的运动轨迹绕点B逆时针旋转90°且放大√2倍而得，即⊙O绕点A逆时针旋转90°且放大√2倍就是点C的轨迹，如下图。
此时轨迹圆心D同样是点O绕点B逆时针旋转90°且放大√2倍而得，如下图，转化为求定点O到定圆D的最短（长）路径问题。
若再把B点也运动一周，下图的绿色轨迹圆也随之绕点O旋转一周所形成绿色圆环就是C点的全部轨迹，同（1）中红色圆环完全一样。可见用不同方法可以得到完全和谐一致的结果！
（3）若嫌上面的方法不好理解，也可以换个角度思考：
把ΔACO绕点A顺时值旋转90°得ΔABD，看出这样有什么好处吗？
CO转化为BD，并且BD在ΔBOD中，最关键的是BO、DO为定值，由三边关系易得：DO-BO≤BD≤DO BO。此种方法的巧妙在于通过旋转得到一个大小确定的等腰直角三角形ADO，从而为解题带来方便。
上图本质上还是转化为圆到圆的最短路径，如下图，DO=3√2，所以点D在以O为圆心3√2为半径的圆上，而点B在以O为圆心3为半径的圆上，BD即为两个同心圆之间的路径，最小值为3√2-3，最大值为3√2 3。
本题中A、B两点双动时C点轨迹是下图中绿色圆环，实际解题时只要动其中一点即可。如下图的红色圆P，实质是从整个 圆环轨迹中取一个圆，此时的情形可以代表整个圆环所有的情形，也即“观木见林”、“管中窥豹”，但首先心中要有“森林”、有“全豹”，否则便只知其然，不知其所以然。
如何理解动点和它的轨迹的关系？也许下面的几个比喻有所帮助。
真是：动静辨分明，虽然你走我行各有路径，却是相牵相伴 命中注定；点动有轨迹，犹如一片树木 接 连成林，恰似一捧珍珠互串成链。
突然发现，数学离诗歌很近，离哲学也很近！
有的解题者只用下面的图形利用三角形三边关系也可以算出答案，但是思考深度不够，所见范围较窄，属于“只见树木，不见森林”，不利于对轨迹的透彻理解，最好先判断全部轨迹再做简化处理。
例3还可以从旋转构造的角度产生多种解法，详见高阶思维之全局视角 一文。
读者若有兴趣再试解一道变式题：
已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC＝90°，AB:AC=4:3，求OC的最小值.
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