关于瓜豆原理是最近网络上出现的一个热门的词语，没有听过的觉得"不懂"，知道或了解的又觉得"真简单"，群众的智慧是无穷的。
什么是瓜豆原理呢？先看两个动态图：
瓜豆原理可简单概括为：
一条折线段，固定其折点，邻边定比例，夹角不改变．有三点：主动点、固定点和从动点，若主动点在直线上动，则从动点在直线上动；
若主动点在圆上动，则从动点在圆上动；还可以进一步推广：若主动点在双曲线上动，则从动点也在双曲线在上动。此所谓："种瓜得瓜，种豆得豆"。
近年来，各地中考试题中不断出现有关动点运动问题，隐含了解析几何"求点的运动轨迹方程"的雏形。这类题目中，条件点随整个几何图形的运动而运动，其背景模糊，轨迹不明，计算繁杂，造成学生的解题思路受阻。
这类题目常设计为填选压轴题，显得极为重要，从动点所经过的路径来分类，常见的有线段和圆弧，偶有双曲线。
1．（2019秋•两江新区期末）已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为______．
【分析】连接CF，F点在直线CF上运动；由已知可证明△ABE≌△BCF（ASA），当DF⊥CF时，DF最小，求出AE＝3√3/2，即可求解．
【解答】：连接CF，
∵等边△ABC，∴AB＝BC，
∵线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），F点在直线CF上运动，
∴CF＝AE，∠BCF＝30°，∴F点在直线CF上运动，
当DF⊥CF时，DF最小，
∵CD＝3，∴CF＝3√3/2，∴AE＝3√3/2，
∵AD＝3√3，∴DE＝3√3，故答案为3√3/2．
2．（2019•桂林中考题）如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为______．
【解析】：如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
∴tan∠ABD＝AD/AB＝√3，∴∠ABD＝60°，
∵A1Q＝QC，BO＝OC，
∴OQ＝1/2BA1＝1/2AB＝√3/2，
∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，
∴点Q的运动路径长＝120 •π×√3/2/180=√3π/3．
3．（2019秋•苍南县期末）如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，则点E的横坐标等于____，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为_______．
【分析】把线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点求出坐标，证明△ACE≌△AC′D，把CE转化为C′D，当C′D⊥OD时，C′D最小，即CE最小，根据全等三角形的性质即可得到即可．
【解答】：如图，把线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，
则C′为定点（2，5/2），
易证△ACE≌△AC′D（SAS），∴C′D＝CE．
当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为5/2，
∴OD＝2，
过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，
则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，
∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，
∴∠AEG ∠EAO＝∠EAO ∠OAD＝90°，
∴∠AEG＝∠OAD，
∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO（AAS），
∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，
∴点E的横坐标等于﹣4，
∴EH＝OG＝2.5，DH＝2 4＝6，
∴利用勾股定理可求得DE＝13/2，
故答案为：﹣4，13/2．
4.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，则线段AO的最大值为______．
【解析】方法1：:考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．
根据AC=3，可得C点轨迹是以点A为圆心，3为半径的圆．
接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，3为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO=7√2/2．
解法2：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形，∴AO＝FO，AF＝√2AO.
∵∠BOC＝∠AOF＝90°,
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO.
∴△AOB≌△FOC（SAS）.∴AB＝CF＝4.
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC CF
∴AF≤AC CF＝3 4＝7,∴AF的最大值为7.
∵AF＝√2AO,∴AO的最大值为7√2/2．故答案为：7√2/2
解法3：可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．
或者直接利用托勒密定理可得最大值．
5．（2018•南通中考题）如图，正方形ABCD中，AB＝2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等及相似的性质和判定、勾股定理，第三问判断最值是难点，将OF的长利用三角形全等转化为PE的长，从而解决问题.当O、E、P三点共线时，PE最小，即OF最小，根据勾股定理可得OP的长，从而得PE的长．和OF的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：∠EDF＝90°，ED＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADC＝∠EDF，
即∠ADE ∠EDC＝∠EDC ∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，
易证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；
（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，
∵O是BC的中点，且AB＝BC＝2√5，
∵A，E，O三点共线，
∴OB＝√5，由勾股定理得：AO＝5，
∵OE＝2，∴AE＝5﹣2＝3，
由（1）知：△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF，CF＝AE＝3，
∵∠BAD＝∠DCP，∴∠OAB＝∠PCF，
∵∠ABO＝∠P＝90°，∴△ABO∽△CPF，
（3）解：如图3，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，
∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，
∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，
当PE最小时，为O、E、P三点共线，
6．（2019秋•鼓楼区期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝1/2OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．
【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：
则HP是△ABO的中位线，∴HP＝1/2OB＝1，
∴P点到H点的距离固定为1，
∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
瓜豆原理又称为"主从联动"。是网络上数学大神取的名字，出自成语"种瓜得瓜，种豆得豆"。在一类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫做从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓"种瓜得瓜，种豆得豆"。解决这一类问题通常用到旋转和放缩，也就是我们前面讲到的全等型和相似型的手拉手模型。
解题的具体步骤如下：
第一步：找主动点轨迹；
第二步：找从动点与主动点的关系；
第三步；找主动点的起点和终点；
第四步；通过相似确定从动点的轨迹，从而进行相关计算。
可以说，在解决多动点问题时，先研究主动点的轨迹，再通过"瓜豆原理"导出从动点的运动轨迹，一般来说，主动点的轨迹为直线，则从动点的轨迹也为直线；主动点的轨迹为圆，从动点的轨迹也是圆 ，在研究从动点轨迹时，一般将主动点放到初始位置找到相应点（定点），把该定点与从动点相连，构建相似三角形或全等三角形；当主动点轨迹为圆时，应把主动点与圆心相连，作出与题中构建的图形相似的图形，这样可导出从动点的轨迹为圆。
