费马点：已知一个三角形，求作一点到三个顶点的距离之和最小，这个点就是费马点。
在日常练习中，一般我们研究三角形的内角都小于120度的情况。当三角形的一个内角大于等于120度的时候，该点不在三角形内部。
解决费马点问题的常见方法是旋转，见下图通过旋转将三条边拼接成首位相接的折线段，由两点之间线段最短可以得到三条线段的最小值。
三角形APC以点C为中心顺时针旋转60度，可以得到AP= AP'、三角形PP' C是等边三角形，所以PA PB PC=PA' PB PP'A' B。
基本费马点旋转图
利用这种方法基本可以处理只含有一个系数不为一的情况，例如在三角形ABC内部求一点使得PA PB PC的值最小。这个时候就不能旋转60度了，而是旋转120度，见下图。
此时PA PB PC=Ｐ'A' PB PP'A'B，在之前的一篇文章里面用余弦定理证明过系数关于旋转角度的关系。笔者研究过许多中考的费马点单系数问题，主要会涉及到根号2，根号3等可以通过特殊三角形构造出来的比例线段；具体可以去看以前的文章。
在此基础上，笔者主要补充多个系数的情况。
例题：在三角形ABC内部有一点Ｐ，求根号3PA PB 2PC的最小值。
加权费马点旋转伸缩变换
如图，将三角形PCP'以点C为中心顺时针旋转90度，同时将边长伸长为原来的根号3倍，根据勾股定理就可以求出PP'=2PC，所以就得到根号3PA PB 2PC=P'A' PP' PBA'B。这里面有两个技巧，以系数最大的一边端点为旋转中心，大小第二的系数就是伸缩变化的倍数，旋转方向是系数最小线段的端点的反方向；旋转角度一般是90度，就初中知识来说大多只能是30度、60度等特殊角度，否则需要余弦定理加持，许多中考的具体题目的系数关系恰好是勾股数，因此旋转90度是普遍的做法。
伸缩变换在初中不属于必须掌握的变换，但是在处理加权费马点问题的时候有奇效；当然处理此类问题不止这一种方法，笔者下次将带来三角形三边和加权费马点的关系。
