数学与物理桥梁下的鸟瞰-下

卡拉比-丘流形

在一个卡拉比－丘流形上传播的弦可能会通过它对于复曲线的个数非常敏感这一点来探索这个几何。这个信息非常的有用，因为就是这些数列举了弦的世界面可能镶嵌进卡拉比－丘流形上的可能的方式。考虑一系列从黎曼面（或者叫世界面）到卡拉比－丘流形X的映射。描述它的二维的量子场论叫做超对称－非线性sigma理论。二维的玻色场可以理解成X上的局域的坐标。费米场和规范场映射到相应的丛的截面上，作用量中的耦合常数是和X相关的几何参数。玻色动能项的耦合常数就是X上的度规。

弦理论针对于枚举几何有很多可以说的，如果它能够在sigma模型里分离出编码流形上曲线数量的数据的话，就可以说的更多。有这个提取过程的印象，我们可以将非线性sigma模型进行拓扑扭变。二维的拓扑扭变是可能的，有A扭变和B扭变两种方式，有A(X)和B(X)两种理论。它们都是拓扑场论，可以用自身相应的方式和Donaldson-Witten理论进行对比。它们的关联函数和二维的世界面上的度规是没有关系的。另一方面，根据扭变，这些关联函数有着不同的时空解释，每一个对应于在非扭变模型里映射的不同的子集。A扭变将变量局域在了一个X上的全纯映射中。而B扭变，局域化选取了常数映射。

尽管两个扭变产生了看起来非常不同的理论，后来发现A和B扭变的区别只是符号的差别。在一个非扭变的理论中，有一个sigma模型之间的同构映射，区别仅在于符号。一个sigma模型有一个靶空间卡拉比－丘流形X. 另一个则是卡拉比－丘空间Y。这个等价性叫做镜像对称性。Y是X的镜像。在扭变理论的层次上，这个等价性变成了等式A(X)=B(Y),. 因为常数映射很容易去研究而全纯映射不那么容易，在B(Y)中计算物理量是计算A(X)中的物理量的一个有力的方法。这导致了Gromov-Witten不变量，它直接和计数曲线有关。镜像对称的威力第一次在简单的卡拉比丘流形五次型（quantic）中展现了出来。在流形中曲线的计数可以通过曲线的等级简化，然后变成一个用来表达每一级曲线数目的生成函数。曲线越复杂精巧，它的等级越高。随着等级的升高，曲线的数目会激增。等级1的曲线就是直线，在五次型卡拉比丘空间中直线的数目很容易计算。这由Hermann Schubert在19世纪末就得到了。在五次型中有2875个复直线。在1986年，SheldonKalz确定了五次型包括609250条等级为2的曲线。

丘成桐先生

枚举几何的进展是缓慢的，计算很快就变得非常繁琐。如果任何人想要通过蛮力来数等级为3的曲线的数目，那么他的工作将是极其艰辛的。Philip Candelas等人在1990s开始研究五次型(quantic)上的弦论。他们是由镜像对称性指引的。指定五次型为X，它的镜像是Y。考虑A（X），拉式量有一项是Q恰当的，因此在算符的上同调类中是平庸的。剩下的项是一个凯勒形式的积分，凯勒形式是一个微分形式。正是这一形式允许我们测量卡拉比丘流形X中的环的体积。A（X）只依赖于凯勒形式。A（X）上的关联函数退化到全纯映射空间下的积分，这正好和Gromov－Witten不变量一致。Sigma模型要求一个困难的非微扰修正的无穷级数。因为镜像对称性的魔力，它们一定等价于B（Y）上的一个量，它们退化到恒等映射空间中的积分。这些积分正好就是经典下精确叫做周期的量，这个量依赖于Y的复结构。凯勒结构控制着流形或者子流形的尺度，其上的复结构和它的形状。Candelas等人能够计算Y的周期积分，用一个大胆的叫做镜面映射的变量替换，通过在全纯映射的等级下一级一级的做，来将答案进行展开来提取Gromov－Witten不变量。

紧接着就是物理数学的令人眩目的演出了。Candelas等人用镜像流形中漫步的时候，数学家正在努力用他们复杂的工具和一系列天才的计算机程序来计数等级为3的曲线。Geir Ellingsrud and Stein Str?mme 猜测有 2,682,549,425 个这样的曲线，解析的计算方法和证明这时没用了，而简单粗暴的方法胜出了。他们在伯克利的数学研究机构展示了这个结果。那是1991年，Candelas和他的同事表示异议，这个数是317206375.数学家很怀疑。在镜像对称性中，物理学家用了数学家没有听说过的技巧。他们的计算依赖于一个非凡的猜想，在一个卡拉比丘流形中的经典的周期积分等价于另外一个完全不同的卡拉比丘流形中计数的曲线数目。这个命题，如果是对的，就是革命性的。Ellingsrud和Stromme谨慎的检查了他们的工作，然后在计算机程序中发现了一个错误。

他们宣布他们的修正：物理学胜利了。

魔群月光猜想：

高能物理学家用对称性来编织他们的理论。超对称和共形对称是其中的例子。一个物理理论的很多方面，像是粒子激发，是要求它们和系统的对称性相容来限制的。群理论无处不在。

有限群包含有限个元素。一般来说，有限群可以分解成正规子序列，在这个序列中每个群都是下一个群的正规子群。有限单群是没有非平庸的正规子群的那些有限群。它们是有限群的基本组成元。有限单群类似于素数。随着有限群理解的深入，数学家表达了想要将它们分类的愿望。在几十年的繁琐枯燥的合作之后，2004年，他们完成了这件事。有限单群分类为18个被理解的很好的群，例如素数阶的循环群，还有26个额外或者叫做散在的单群。在散在单群中，最大的就是魔群，魔群中包含了1054个元素。许多其他的散在的单群可以作为这个怪物的子商群被实现。散在单群是奇特的结构，它们在数学中是否具有更深层次的意义依然是有待研究的。这个问题的答案和魔群的表示密切相关，一个表示是将一个抽象的群用线性空间的变换具体化，因此将一个抽象的群中的元素和一个矩阵结合起来。矩阵的大小是表示的维数。不可约表示构成一个不可分割的表示的完备集，所有其它的表示都可以通过类似直和这样的简单操作从它们构造出来。魔群有194个不可约表示。每个群都有一个一维表示对应于平庸的群操作。在平庸的表示之后，魔群第二小的不可约表示是196883维的，第三小的是21296876维的等等。这些不是能够激发数学家通过精确构造来进行思考的数字。魔群和它作用的自然的对象，直到魔群月光猜想发现之前，依然是神秘的。

模形式在数论中很自然的产生，它们定义在上半复平面上的函数f(τ)。它在τ被一个模群SL2(Z): f(γ.τ) =(cτ d)kf(τ)上的元素γ 的作用下是协变的。这是一个2 × 2矩阵群，每个元素都是整数且行列式为1。半整数的k叫做模形式的权重，c和d代表在矩阵γ第二行中的两个整数元素。模形式是重要的数学对象。这个形式的展开式的系数经常是数论学家感兴趣的整数。这些整数等式的证明有时可以通过之前模形式满足的泛函等式进行证明。J函数是一个在模变换下不变的特殊函数，它按照权重为0的模形式进行变换。J函数，实际上，是所有这一类模不变函数的生成元，因为它们都可以由J函数多项式的比表示出来。接下来一件令人惊奇的物理数学的特征事件发生了，最初由群论学家JohnMcKay在1978年注意到的。当闲着没事翻翻数论书的时候，他发现j函数并且观察到它的傅立叶展开从一个有趣的因子1开始，然后是196884，但是196884=1 196883，这是魔群的头两个不可约表示维数相加得到的维数。他写信给John Tompson，而John Tompson发现j函数的下一个因子是21,493,760 = 21,296,876 196,883 1。

弦论

这个优雅的数论结构能够给出最大的散在单群的信息吗？它看上去是令人震惊并且奇怪的。因此得名：魔群月光猜想。数学家John Conway和Simon Norton，首先通过问一个模对象的特定的类如何编码魔群的数据来将魔群月光猜想表达出来。他们猜想，我们可以对每个魔群上的共轭类赋予一个模函数，这个共轭类在特殊的，亏格为0的SL2(R)的子群G的变换下是不变的。如果是这样，他们的傅立叶展开可能包括魔群的表示的信息。它们的系数是群元素的特征标，模函数和恒等类相联系，那就是J函数。一系列的猜想以魔群月光猜想而出名。

然后在1992年，它们由Richard Borcherds证明了。他的证明中的一些元素直接受到弦论的启发。他也引入了许多新的数学结构，广义的Kac-Moody代数，这些反过来导致了有趣的物理。许多魔群月光猜想的物理内容，和Borcherds的证明的核心组成部分，来自数学家对于共形场论的完善。在数学中，共形场论叫做顶点算子代数。澄清魔群月光猜想的顶点算子代数是由Igor Frenkel，James Lepowsky，Arne Meurman三人构造的。而翻译到弦论的工作由LanceDixon，Paul Ginsparg，JeffreyHarvey.完成。对于弦论学家，j函数是一个专门的东西，是一个能级上的粒子状态数目的配分函数。魔群在顶点算子代数上通过一个对称性来作用。它和哈密顿量对易并且保持基态不变，尽管真空上的激发态通过对称性的表示来组织起来。

配分函数的模不变性物理上是自然的。考虑一个闭弦圈的世界面上的共形场论。世界面具有圆柱型的拓扑。为了计算配分函数，圆柱的两头融合形成一个环面。欧式的时间坐标起到了有限的温度的作用——这是在量子力学和量子场论中都经常使用的一个认同。模群SL2(Z)是将环面看成是一个拓扑空间后其上的对称群，因此给同胚变换的类指定的群将环面映射到自身。这些对称性不影响背后的物理。这是我们熟悉的在量子力学中计算点粒子不依赖于世界线的参数化这一基本事实在弦理论下的扩展。物理上的一致性要求关于环面的一个任意的参数化不影响像配分函数之类的可观测量。配分函数在SL2(Z)下一定是模不变的。

另外一个魔群月光的模函数，和SL2(R)的亏格为0的子群有联系，当亏格为0的群是SL2(Z)的子群时，它也有一个共形场论的理论理解。它们的模不变性的论证和刚刚给出的物理论证是一致的。对于亏格为0但不在SL2(Z)里的SL2(R)的子群，相关函数的模不变性没有明显的解释，不论是物理上的还是数学上的。Borcherds，当然，证明了这个猜想，但是他的证明中的这部分关于亏格为0的性质，需要暴力的验证，而不像是概念上的解释。它在神秘的月光猜想中一直就是一个重要的谜团。就在最近Daniel Persson, Roberto Volpato 和我提出了关于魔群月光中亏格为0的性质的一个概念上的解释，我们用到了杂化弦中时空的性质。这个构造将Borcherd证明中的代数的部分在物理上夯实了。

魔群月光的观察最终是弦论时空和世界面上的对称性的自然结果，产生了令人震惊的代数结构。许多年前，Eugene Wigner问了一个如何解释数学在物理中难以置信的有效性的问题。相比于回答这个问题，因为问出了这个问题使得他的文章是很有影响力的。今天，可能我们可以写一个类似的文章，来寻求为什么物理在数学中那么有效的解释。如果数学和物理在许多层面上是等价的，那么它们的不同将不是内容上的而是技巧上的不同。最终会展示出他们都通向唯一的一个实在。

这么想想是不是非常可爱？

本文转载自微信公众号中科院理论物理研