要证明幂指数函数的极限运算法则，可以使用定义和极限运算法则的证明。
定义：设f(x)和g(x)是定义在开区间(a,b)上的函数，且lim[x→a]f(x)=A，lim[x→a]g(x)=B（A和B都是实数），且存在一个正数δ>0，使得对于所有0<|x-a|<δ，都有f(x)>0。若B是正数，则lim[x→a]f(x)^g(x)=A^B；若B是零或负数，则lim[x→a]f(x)^g(x)=A^B（A>0）或lim[x→a]f(x)^g(x)不存在（A=0）。
证明：根据定义，我们需要证明lim[x→a]f(x)^g(x)存在且等于A^B或A^B（A>0）。
由于lim[x→a]f(x)=A，所以对于任意给定的ε>0，存在一个正数δ1>0，使得当0<|x-a|<δ1时，有|f(x)-A|<ε。
由于lim[x→a]g(x)=B，所以对于任意给定的ε>0，存在一个正数δ2>0，使得当0<|x-a|<δ2时，有|g(x)-B|<ε。
令δ=min{δ1, δ2}。
当0<|x-a|<δ时，不妨假设f(x)>0，即存在一个正数ε1>0，使得f(x)>(A-ε1)。
由于(A-ε1)>A-ε，所以有
|f(x)^g(x)-A^B|=|f(x)^g(x) - (A-ε1)^B + (A-ε1)^B - (A^B)|
≤ |f(x)^g(x) - (A-ε1)^B| + |(A-ε1)^B - (A^B)|
我们再分别讨论两个绝对值的值：
当f(x)趋于A时，根据极限运算法则，有
lim[x→a]f(x)^g(x) = (A-ε1)^B
当f(x)趋于A时，根据极限运算法则，有
lim[x→a](A-ε1)^B = A^B
所以，当0<|x-a|<δ时，有
|f(x)^g(x)-A^B|<2ε
这说明lim[x→a]f(x)^g(x)存在且等于A^B或A^B（A>0）。
综上所述，我们证明了幂指数函数的极限运算法则。
用对数和指数的相关知识可以证明的，例如： 共7步，1到2是指数转对数，2到3是移项，3到4是对数系数移入对数的真数，4到5是对数转指数，5到6是开3次方，6结合1就得到7了。
