无穷小乘以有界等于无穷小。 因为无穷小量是趋于0的,而0乘以任意确定的数都得到确定的0,0是可以比较大小的,这样由夹逼定理得到极限依旧是0。 但是无穷大量却是不定的量，无法比较大小，也就无法确定极限。无穷大乘有界函数的极限可能是有限的数，可能还是无穷大，也可能不存在
因为无穷小量是趋于0的，而0乘以任意确定的数都得到确定的0，0是可以比较大小的，这样由夹*定理得到极限依旧是0。
但是无穷大量却是不定的量，无法比较大小，也就无法确定极限。无穷大乘有界函数的极限可能是有限的数，可能还是无穷大，也可能不存在。
举反例如下：当x趋于无穷时，x为无穷大，y=sin（1/x）为有界函数，x乘以sin（1/x）时，极限等于1，这时候结果就不再是无穷大。

常用等价无穷小：
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)
3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)
4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)
10、a^x-1~xlna (x→0)
11、e^x-1~x (x→0)
12、ln(1+x)~x (x→0)
13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)
14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)
无穷小乘有界函数等于无穷小。
用定义证明：
数列{Xn}有界，又limyn=0 证明 limxnyn=0
因为xn有界，存在正数M，使得|Xn|<M
又lim yn=0，根据定义有对任意ε>0，当n>N时，有|yn-0|<ε/M
所以当n>N时有
所以|xnyn-0|=|xn||yn|<M*ε/M=ε
所以lim xnyn=0
扩展资料：
常用等价无穷小：
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)
3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)
4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)
10、a^x-1~xlna (x→0)
11、e^x-1~x (x→0)
12、ln(1+x)~x (x→0)
13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)
14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)
